北京航空航天大学线性代数第五章5-1-方阵的特征值和特征向量

北京航空航天大学 数学与系统科学学院

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朱立永线性代数

§5.1 方阵的特征值与特征向量5.1.1 特征值与特征向量的概念 5.1.2 特征值与特征向量的求法 5.1.3 特征值与特征向量的性质

线性代数

5.1.1

特征值与特征向量的概念

定义5.1.1 设A是数域P上n阶方阵,α是P 上非零n维向量，若有数λ∈P使 Aα=λα (5.1.1) 则称λ为A的特征值，α为A的属于λ的特 征向量。 从几何上看，矩阵A的一个特征向 量 α 经过作用后得到的向量 Aα 与特征 向量α 是共线的，而比例系数λ就是特 征向量α所属的特征值。线性代数

如果A有特征值λ,那么A的属于λ的特征向 量有多少呢?

定理5.1.1 若α1, α2, …, αs是A的属于λ的 特征向量，则α1, α2, …, αs的任何非零线性 组合β=k1α1+k2α2+ …+ ksαs 也是A的属于λ 的特征向量。线性代数

注： 1. 若A有特征值λ,则A的属于λ的特征向量有 无穷多个. 2. 若已知A有特征向量α,则α只能属于A的一 个特征值.

线性代数

5.1.2 特征值与特征向量的求法 设A=(aij)nn是数域P上 的n阶方阵， 若λ是A的特征值， x1 x n

是A的属于λ的特征向量，由 Aα = λα, 得 λα-Aα = 0,线性代数

即

(λE-A) α = 0 .

注意λE-A是一个n阶矩阵，把α看作 未知向量，式(5.1.2)就是一个齐次线性 方程组( a11 ) x1 a12 x2 a1n xn 0, a21 x1 ( a22 ) x2 a2 n xn 0, (5.1.3) an1 x1 an 2 x2 ( ann ) xn 0. 线性代数

由 于 α≠0 , 故 x1,…, xn 不 全 为 零 ， 即 x1,…, xn是(5.1.3)的非零解. 而齐次线性 方程组(5.1.3)有非零解的充分必要条件 是它的系数行列式为零, 即

a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n E A 0 a n1 a n 2 a nn线性代数

定义5.1.2 设A是数域P上的n阶方阵， λ是在P上取值的变量.矩阵λE-A称为A 的特征矩阵.行列式 a11 a21 E A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann

(5.1.4)

称为A的特征多项式.它是数域P上以λ为变 元的一个n次多项式.线性代数

上面分析说明，如果 λ 是方阵 A 的特征值， 则λ必是A的特征多项式的一个根；反之，如果 λ是A的特征多项式在数域P中的一个根，则齐次 线性方程组(5.1.3)必有非零解.这样，λ就是A 的 一 个 特 征 值 ， 而 式 (5.1.3) 的 非 零 解 α = (x1,…,xn)T就是A的属于λ的特征向量. 综上所述，确定方阵A的特征值与特征向 量的方法分为以下

几步:线性代数

(1) 写出A的特征多项式|λE-A|,并求出 它在数域P中全部的根(称为A的特征根), 这些根也就是A的全部特征值; (2)把所求得的特征值逐个地代入方程组 (5.1.3),对每个特征值解方程组(5.1.3), 求出它的基础解系，它们就是属于这个特 征值的线性无关特征向量. 例5.1.1 征向量. 求n阶数量矩阵kE的特征值与特线性代数

解 kE的特征多项式为 k E kE k k n

k

特征多项式的根为λ=k,即kE的特征值只 有k,它是一个n重特征根. 把λ=k代入(λE-kE)α =0, 得 0 α = 0.线性代数

这说明任何非0向量都是kE的特征向 量. 直接由特征向量的定义也可知，数量 矩阵kE左乘任何向量α后得到kα. 例5.1. 2 设 2 3 2 A 1 4 2 1 3 1 为实数域R上的矩阵, 求A的特征值与特征 向量.线性代数

解 A的特征多项式为 E A ( 1)( 3) 故A的特征值是-1(二重特征根)和5. 对于特征值解 1 ,齐次线性方 程组 E A X 0 ,得属于特征值1的 特征向量 3 1 1 3

2

k 从而属于1的全部特征值为 k1 1, 1 0 。 对于二重特征值 3 ,解齐次线性线性代数

方程组 3E A X 0 ,得属于特征值1的 1 ( 1, 1,1)T ,从而属于特 特征向量 k 征值3的全部特征向量为 k1 1 , 1 0。 例5.1.3 设 1 A 2 2 2 1 2 2 2 1

为实数域R上的矩阵, 求A的特征值与特征 向量.线性代数

解 A的特征多项式为 1 2

2 2 E A 2 1 2 ( 1) ( 5) 2 2 1齐

故A的特征值是-1(二重特征根)和5. 把特征值-1代入 E A X 0 得 次线性方程组

2 x1 2 x 2 2 x3 0, 2 x1 2 x 2 2 x3 0, 2 x 2 x 2 x 0. 1 2 3

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