微分几何 第二章 曲面论 2.1

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第二章 曲面论

内 容 提 要

1、曲面的概念(简单曲面、光滑曲面、切平面和法线) 简单曲面、光滑曲面、切平面和法线)第一基本形式、曲线的弧长、 2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、 正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换) 正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换) 第二基本形式、 3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等) 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等) 直纹面、可展曲面) 4、直纹面和可展曲面(直纹面、可展曲面) 基本方程、基本定理) 5、曲面论的基本定理(基本方程、基本定理) 测地曲率、测地线、高斯—波涅 6、曲面上的测地线(测地曲率、测地线、高斯 波涅 公式、曲面上向量的平行移动) 公式、曲面上向量的平行移动) 常高斯曲率的曲面、伪球面、 7、常高斯曲率曲面(常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何) 氏几何)

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第一节 曲面的概念1、1 简单曲面及其参数表示 一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线 约当曲线。约当曲线将平面分 约当曲线 成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部 称为初等区域 初等区域。如矩形的内部、园的内部等。 初等区域 二、简单曲面 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在 上的、双方连续的映射(拓朴映射),则把三维空间中的象称为 简单曲面。 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如：一矩形纸片(初等区域)可以卷成有裂缝的园柱面。如果 它是橡皮膜，还可变成园环面。

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三、曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v),它的拓朴象为曲面 S,其上的点的笛氏坐标为(x,y,z),故有 x = f1(u,v) , y = f2(u,v) , z = f3(u,v) , (u,v)∈G 称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。习惯上写作 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G 例：园柱面；球面；旋转面。 四、坐标曲线；曲纹坐标网。 坐标曲线；曲纹坐标网 曲面上一点 P 的直角坐标为(x , y ,z),它的曲纹坐标为 (u ,v)。现在取 v = 常数而 u 变化时的曲线叫 u -曲线 ( u线)} 两族坐标曲线在曲 u = 常数而 v 变化时的曲线叫 v -曲线(v线) 面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一 点 P ,两族曲线中各有一条经过它。 (例题)

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光滑曲面、 1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 光滑曲面、正常点、 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v)

或 r = r (u,v) 中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面 c 类曲面 阶正则曲面或 类曲面。 光滑曲面。 c1 类的曲面又称为光滑曲面 光滑曲面 2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0)k

r r ru (u0 , v0 ) = (u0 , v0 ) , rv (u0 , v0 ) = (u0 , v0 ) 为 v u 如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为曲面的正常点。

和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量

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3、正规坐标网 正规坐标网 由ru, rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总 存在该点的一 个邻域U,使在这个邻域内有ru× rv不为零， 于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切， 构成一正规坐标网 正规坐标网。 正规坐标网 4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ), 事实上，由3 ,ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点 的一 个邻域U,使在这个邻域内有ru× rv不为零，故的坐标中 的三个二级子式中至少有一个不为0,不妨设第一个不为0, y x 即 ( x, y )

(u , v)

=

u x v

u y v

由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯 一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) , 代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。

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二、曲面的切平面 1、切平面的定义 设曲面曲线为 (c): u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t),

这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向 曲面在该点的切方向 或方向，它平行于

du dv r ′(t ) = ru + rv 或 dt dt

dv du r ′(t ) = (ru + rv ) dt dv

其中 ru , rv 分别是在( u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。 以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r ′(t ) 。

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du dv 由 r ′(t ) = ru + rv dt dt可以看出，切向量 r ′(t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2:曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 命题 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。

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3、切平面的方程 设面上一点为 P0( u0 ,v0 ),R (X,Y,Z)为平面上任一点， 则有

( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0或写成坐标表示式

X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 zv (u0 , v0 )

如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r = {x, y, z ( x, y )} z z rx = {1,0, x } = {1,0, p} , ry = {0,1, y } = {0,1, q}

X x0 Y y0 1 0 0 1

Z z0 p0 q0 =0

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三、法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该

点的法线。 由定义，曲面的法方向为 N = ru × rv 单位法向量为 2、法线的方程

ru × rv n= ru × rv

0

设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v) 则法线的方程为 R = r (u , v) + λ (ru × rv ) 用坐标表示为 X x (u , v )

yu yv

zu zv

Y y (u , v ) Z z (u , v ) = = z u xu xu y u z v xv xv y vX x Y y Z z ( x, y ) = = p q 1

若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有

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四、参数变换 如果曲纹坐标 (u,v) 变为新的曲纹坐标 (u , v ) :

u = u (u , v ) , v = v(u , v ) r = r (u (u , v ), v(u , v ))则得到曲面关于新曲纹坐标 (u , v ) 的方程 r = r (u , v ) 对 u , v 求导： ru = ru u + rv v , rv = ru u + rv v

u v v u v u v (u , v) 因此 N = ru × rv = ru × rv ( )=N u v v u (u , v ) (u , v) (1) (u , v ) ≠ 0 , 则两个法向量平行。 (u , v) > 0 ,所有参数法向量的正向保持不变， (2) (u , v ) u称这个方向为曲面的正向。 (3)交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。

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1、3

曲面上的曲线簇和曲线网

设光滑曲面上的曲线为 (c): u = u (t) , v = v (t) , 或者 r = r [ u ( t ) , v ( t ) ] = r ( t ) , 消去 t ,可得曲面上 曲线的方程为 u = (v) , 或 v = ψ (u ) , 或 f (u, v) = 0 1、一阶线性微分方程

A(u , v)du + B(u , v)dv = 0

表示曲面上的一 …… 此处隐藏：2687字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……