第4章 数据分布特征的测度

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第四章 数据分布特征的测度

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学习目标掌握众数、中位数的概念、特点及其计算方法； 了解四分位数概念； 掌握算术平均数、调和平均数、几何平均数的概念、 特点及计算方法； 了解异众比率、四分位差、全距、方差及标准差的 概念、及计算方法； 了解偏度和峰度的意义； 能够区分各种指标的应用场合，根据不同数据类型 运用不同测度指标。

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主要内容: 主要内容1

集中趋势的测度

2

离散程度的测度 偏态与峰度的测度

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数据的特征和测度

集中趋势众数 中位数 四分位数 平均数

离散程度异众比率

分布的形状偏度

四分位差 全距 方差和标准差 离散系数 峰度

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第一节 集中趋势的测度

众数

中位数

四分位数

平均数

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M0

一、众数

● 概念 在次数分布数列中，就是出现次数最多的变量值， 用 表示。 主要用于测度定类数据的集中趋势，当然也适用于 作为定序数据以及定距和定比数据集中趋势的测度 值。

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● 计算众数的方法 (1)单项分配数列的众数计算方法 )出现次数最多的那一组变量值就是众数

某商场某日连续销售15双皮鞋的尺码组成情况如 下： 38,37,38,40,40,41,40,42,44,40, 41,39,40,40,43 出现次数最多的数是40,40就是某商场某日销售 皮鞋尺码的众数。

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(2)组距分配数列的众数计算方法第一步：根据分配数列次数最多的组 确定为众数所在组。 第二步：根据该组与前后相邻两组 分配次数的关系推算众数。

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众数与相邻两组的关系示意图f

f 1 = f +1 ,众数组的组中值

f -1

f+1

即为众数的值。Mo

f 1 f+1,众数会向其前一 组靠，众数小于其组中值

Mo

f 1 f +1,众数会向其后一 组靠，众数大于其组中值Mo

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根据上述关系，可以利用相似三角形推导出 组距分配数列的众数的计算公式如下： 下限公式：M 0 = L +f f 1 1 ×i ( f f 1 ) + ( f f +1 )

f f +1 上限公式：M 0 = U ( f f ) + ( f f ) × i 1 +1其中，L,U分别表示众数所在组的下限值和上限值， i表示众数组的组距。

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某乡3000农户按人均年纯收入分组的资料如 下表，试计算其众数。人均年纯收入(元) 2000-3000 3000-4000 4000-5000 5000-6000 6000-7000 7000-8000 8000-9000 9000-10000 合计 农户数 240 480 1050 600 270 210 120 30 3000

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从表中可以看出，众数所在的组为40005000,出现的最多次数为1050。按下限公式计算众数：1050 1050 480 M 0 = 4000+ ×1000= 4559 元) ( (1050 480) + (1050 600)

按上限公式计算众数：1050 600 M 0 = 5000 × 1000 = 4559(元) (1050 480) + (1050 600)

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● 众数的优缺点 优点 容易理解， ①容易理解， ②不受极值影响 缺点 ①灵敏度和计算功

能差 ②稳定性差 ③具有不唯一性

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二、中位数和四分位数(一)中位数● 概念是指对样本数据由小到大排序后，处于中间 是指对样本数据由小到大排序后， 位置上的变量值， 表示。 位置上的变量值，用 Me表示。 是一个位置代表值， 是一个位置代表值，它主要用于测度定序数 据的集中趋势， 据的集中趋势，当然也适用于定距数据和定 比数据的集中趋势，但不适用于定类数据。 比数据的集中趋势，但不适用于定类数据。

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● 计算中位数的方法(1)变量值未分组情况下： 总体单位数n是奇数，中间位置的变 量值是 中位数。 总体单位数n是偶数，中间位置的两个变量值 的算术平均数为中位数。

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(2)变量值分组情况下：

∑下限公式：Me

f

= L +

2

S m 1 fm

×i

∑上限公式： Me

f

=U

2

S m +1 fm

×i