计算机图形学 机械工业出版社3.1

计算机图形学 机械工业出版社

1

第三章

图形变换

图形显示 图形显示可视为用假想照相机对被描述的对象进行拍 照，并将照片贴在显示屏或图纸的指定位置进行观察。 而对象所处的环境和显示屏或图纸所处的环境是不相 同的(如位置、尺寸等),因此需要协调两者之间的 关系，进行图形变换。 另外，三维图形在二维屏幕或图纸上表示要通过投影 投影 变换。 变换 为了从不同方向去观察对象，就要求对对象作旋转 旋转、 旋转 放大、缩小 平移变换。 缩小和平移 放大 缩小 平移 窗口规定要显示的内容，用视区 视区规 绘图过程中还要用窗口 窗口 视区 定在屏幕或图纸上显示的位置。

计算机图形学 机械工业出版社

2

第一节

变换的数学基础

1. 向量及向量运算 2. 矩阵及矩阵运算 3. 齐次坐标

计算机图形学 机械工业出版社

3

1.

向量及向量运算

矢量与标量： 矢量与标量：– 标量(数量):只有大小的量； 标量(数量) – 矢量(向量):有大小也有方向的量； 矢量(向量)

设有向量

a ( x1 , y1 , z1 ), b( x2 , y2 , z 2 )

– (1).向量的长度：a = a a = x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 – (2).两向量的和差运算：

a ± b = ( x1 ± x2 , y1 ± y2 , z1 ± z 2 )

计算机图形学 机械工业出版社

4

– (3).两向量的点乘积： a b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 – (4).两向量的叉乘积：i a × b = x1 x2 j y1 y2 k z1 z2

=( y1 z 2 y2 z1 , z1 x2 z 2 x1 , x1 y2 x2 y1 )

计算机图形学 机械工业出版社

5

2. a11 a21 A= M am1

矩阵及矩阵运算a12 a22 M am 2 L a1n L a2 n ,简记为A = (aij ) m×n M L amn

a 叫做一个m×n矩阵， ij 叫做第i行第j列上的元素；m=n时，A叫做n阶方阵 方阵， 方阵 主对角元素。 称为主对角元素 主对角元素

aii (i = 1,2, L, n)

计算机图形学 机械工业出版社

6

行矩阵(行向量)– 只有一行的矩阵(m=1)

列矩阵(列向量)– 只有一列的矩阵(n=1)

矩阵相等：– 行数、列数相等，所有对应位置元素相等

计算机图形学 机械工业出版社

7

有关的矩阵运算：– 数乘运算，用数乘矩阵的每一个元素，记为tA或At; – 加法运算A+B,对应元素分别相加； – 乘法运算

C = (Cij ) m× p = Am×n Bn× p b11 b12 a11 a12 a13 C = A B = b21 b22 a21 a22 a23 b 31 b32 a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32

计算机图形学 机械工业出版社

8

矩阵运算的基本性质：(1).数乘矩阵适合分配律和结合律； (2).矩阵加法适合交换律和结合律； (3).矩阵乘法适合结合律； (4).矩阵乘法对加法适合分配律；

特殊矩阵：零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为0m×n; 零矩阵 单位矩阵：主对角元素aii=1,其余元素均为零，记为 单位矩阵 In;

计算机图形学 机械工业出版社

9

逆矩阵： 若存在 A A 1 = A 1 A = I ,则称A-1为A的逆矩阵 逆矩阵 若A有逆矩阵，则

称A是一个非奇异矩阵 非奇异矩阵 转置矩阵： 将矩阵 A = (aij ) m×n 的行列互换得到一个n×m的 矩阵，称为A的转置矩阵 转置矩阵；记为 AT 转置矩阵( AT )T = A (kA)T = kAT

( A + B)T = AT + BT

( A B)T = BT AT

若A是n阶方阵且有A=AT,则称A是一个对称矩阵 对称矩阵

计算机图形学 机械工业出版社

10

3.

齐次坐标齐次坐标表示法就是用n+1维向量表示一一个n维向量。 (X,Y) (Xh,Yh,h) (hX,hY,h) 不唯一 (X,Y,1) 唯一

为什么需要齐次坐标？①②

可将多个变换作用于同一目标 使变换的表示法统一。