3-2(柯西积分定理)

柯西积分定理

第二节 柯西积分定理一、问题的提出二、柯西积分定理 三、典型例题 四、小结与思考

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一、问题的提出观察P55例2, 被积函数 f ( z ) z 在复平面内处处解析,

此时积分与路线无关.观察P57例3,

被积函数 f ( z) Re z 在复平面内处处不解析,此时积分与路线有关.

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虽然在除去 z0 的 C 的内部函数处处解析, 但此区域已不是单连通域.由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可 能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.

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二、柯西积分定理柯西积分定理柯西介绍 古萨介绍

如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为零 :

c f ( z )dz 0.CB

定理中的 C 可以不是简 单曲线. 此定理也称为柯西积分定 理.

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关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f ( z ) 在B 内与 C 上解析, 即在闭区域 B B C 上解析,

那末

c

f ( z )dz 0.

(2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f ( z ) 在B 内解析, 在闭区域 B B C 上连续, 那末

定理仍成立.

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三、典型例题例1 计算积分解

z 1

1 dz . 2z 3

1 函数 在 z 1内解析, 2z 3

根据柯西-古萨定理, 有

z 1

1 d z 0. 2z 3

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例2 证明 c ( z )n dz 0 ( n 1), 其中 C 是任意闭曲线.

证 (1)当 n 为正整数时, ( z )n 在 z 平面上解析,由柯西-古萨定理,

c

( z )n dz 0.

( 2)当 n 为负整数但不等于 1 时,( z )n 在除点 的整个 z 平面上解析,

情况一 : 若 C 不包围 点,7

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( z )n 在 C 围成的区域内解析,

由柯西-古萨定理,

c

( z )n dz 0;

情况二 : 若 C 包围 点,

由上节例4可知,

c

( z )n dz 0.

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例3 计算积分 解

z i

1 dz . 2 1 z ( z 1)2

1 1 1 1 1 , 2 z ( z 1) z 2 z i z i

1 1 1 因为 和 都在 z i 上解析, z z i 2

根据柯西-古萨定理得

z i

1 dz 2 1 z ( z 1)2

z i

1 1 1 1 1 dz 2z i 2z i 1 z2

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z i

1 1 dz 2 1z2

z i

1 1 dz 2 1z i2

z i

1 dz 1z i2

1 2

z i

0 1 1 dz 2 i i . 2 1z i2

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四、小结与思考通过本课学习, 重点掌握柯西-古萨基本定理:

如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :

c f ( z )dz 0.

并注意定理成立的条件.11

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思考题应用柯西积分定理应注意什么?

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思考题答案(1) 注意定理的条件“单连通域”. 1 1 3 反例 : f ( z ) 在圆环域 z 内; z 2 2 (2) 注意定理的不能反过来用.

即不能由 f ( z )dz 0, 而说 f ( z ) 在 C 内处处解析.C

1 反例 : f ( z ) 2 在 z 1内. z

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作业： P79 7. (1)(2)(3)(4).

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