2013中考数学冲刺专题2 探索型问题 人教新课标版

2013中考冲刺数学专题2—— 探索型问题

【备考点睛】

探索型问题是指那些条件不完备、结论不明确、或答案不唯一、给学生留有较大探索余地的试题。从最近几年来中考中探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是中考命题“孜孜以求的目标”。

探索型问题一般有两类：

（1）探索条件的开放题；（2）探索结论的开放题。 探索型问题的特点：

（1）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的；

（2）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论； 【经典例题】

类型一 条件开放型问题

例题1．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3 1时，求正方形的边长.

B C

解答：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）.

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. F

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

B C

AM＋BM＋CM的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝

xx，EF＝. 22

在Rt△EFC中，

222

∵EF＋FC＝EC，

23x2

∴（）＋（x＋x）2＝3 1.

22

解得，x＝2（舍去负值）.

∴正方形的边长为2.

例题2．如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H． （1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；

（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．

解答：分析：考察了相似的两种基本图形，平行四边形中利用全等三角形的简单证明. （1） AEH与 DFH．（或 AEH与 BEG， 或 BEG与 CFG ，或 DFH与 CFG） （2）OE=OF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

AB∥CD，AO CO ∴ EAO FCO，

∵ AOE COF， ∴△AOE≌△COF， ∴OE OF．

例题3．（2010 甘肃）如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交

于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D． （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存

在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解答：（1）设该抛物线的解析式为y ax bx c，

由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知c 3. 即抛物线的解析式为y ax bx 3． 把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 解得a 1,b 2.

∴ 抛物线的解析式为y = x－2x－3． ∴ 顶点D的坐标为 1, 4 .

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 理由如下：

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F. 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ BC 18. 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ CD 2. 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ BD 20. ∴ BC CD BD， 故△BCD为直角三角形. （3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD， 得符合条件的点为O（0，0）．

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1， 可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， 求得符合条件的点为P1(0,)． 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2， 可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD， 求得符合条件的点为P2（9，0）． ∴符合条件的点有三个：

2

2

2

22

2

2

2

2

a b 3 0,

9a 3b 3 0.

13

O（0，0），P1(0,)，P2（9，0）.

类型二 结论开放型问题

例题4．（2010四川眉山）如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．

FB

（1）证明：△ACE∽△FBE； B'

C'（2）设∠ABC= ，∠CAC = ，试探索

、 满足什么关系时，△ACE与△FBE 是全等三角形，并说明理由．

解答：（1）证明：∵Rt△AB C 是由Rt△ABC绕 点A顺时针旋转得到的，

∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB ∴∠CAC =∠BAB

∴∠ACC =∠ABB

13

CA

又∠AEC=∠FEB ∴△ACE∽△FBE

（2）解：当 2 时，△ACE≌△FBE．

在△ACC 中，∵AC=AC ，

180 CAC'180

∴ ACC' 90

22

在Rt△ABC中，

∠ACC +∠BCE=90°，即90 BCE 90 ， ∴∠BCE= ． ∵∠ABC= ，

∴∠ABC=∠BCE ∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．

例题5．（2010安徽蚌埠）已知⊙O过点D（3，4）,点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A。

⑴ 求sin HAO的值；

⑵ 如图，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若 DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin CGO的大小怎样变化，请说明理由。

（2）试探索sin CGO的大小怎样变化，请说明理由.

解：当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin CGO的值不变 过点D作DM EF于M，并延长DM交 O于N，连接ON， 交BC于T。

因为 DEF为等腰三角形， DM EF， 所以DN平分 BDC

所以弧BN=弧CN，所以OT BC， 所以 CGO MNO

OM3

所以sin CGO=sin MNO

ON5

即当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），sin CGO的值不变。

解答：

例题6．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体．．育馆的路程．．．．．S（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：

（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式 …… 此处隐藏：11933字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……