市场经济中的蛛网模型

主讲： 主讲：夏师

7.1 市场经济中的蛛网模型

供大于求

价格下降 数量与价格在振荡

减少产量

现 象增加产量

价格上涨

供不应求

描述商品数量与价格的变化规律

问 题

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

主讲： 主讲：夏师

蛛网模型xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 时段商品数量； 第 时段商品价格 第 时段商品数量 消费者的需求关系 生产者的供应关系y

需求函数

yk = f ( xk )

减函数

供应函数 x k +1 = h ( y k ) 增函数

y k = g ( x k +1 )f g P0 x0

f与g的交点 0(x0,y0) ~ 平衡点 与 的交点 的交点P 一旦x 一旦 k=x0,则yk=y0,x

y0 0

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

主讲： 主讲：夏师

P1 → P2 → P3 → L → P0 P1 → P2 → P3 → L → P0 ×P0是稳定平衡点y y2 y0 y3 y1 0 f P3 P0 P2 x2 x0 x3 g P4 y

蛛 网 模 型 yk = f (xk ) xk +1 = h( yk ) yk = g( xk +1 ) x1 → y1 → x2 → y2 → x3 → L 偏离x 设x1偏离 0 xk → x0 , yk → y0 xk × x0 , yk → y0 → ×P0是不稳定平衡点P3 f P0 P1 x0 x g P4

曲线斜率

K f < KgP1 x1 x

y0 P2 0

K

f

> Kg

主讲： 主讲：夏师

方程模型yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )

在P0点附近用直线近似曲线

yk y0 = α ( xk x0 ) (α > 0) xk +1 x0 = β ( yk y0 ) ( β > 0)k +1

xk +1 x0 = αβ ( xk x0 ) x

x 0 = ( αβ ) ( x1 x 0 )k

αβ < 1 (α <1/ β)

xk → x0 xk → ∞

P0稳定 K

f

< Kg

αβ > 1 (α > 1/ β )

P0不稳定 K f > K g

方程模型与蛛网模型的一致

α = Kf

1/ β = K g

主讲： 主讲：夏师

结果解释 结果解释

考察α , β 的含义

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 时段商品数量； 第 时段商品价格 第 时段商品数量

y k y 0 = α ( xk x0 )α ~ 商品数量减少 单位 价格上涨幅度 商品数量减少1单位 单位,x k +1 x 0 = β ( y k y 0 )

β ~ 价格上涨 单位 (下时段 供应的增量 价格上涨1单位 下时段 单位, 下时段)供应的增量 α ~ 消费者对需求的敏感程度 β ~ 生产者对价格的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β 小, 有利于经济稳定

αβ < 1 经济稳定

主讲： 主讲：夏师

结果解释

经济不稳定时政府的干预办法y y0 0 y g f g f x

1. 使 α 尽量小，如 α=0 尽量小， 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 2. 使 β 尽量小，如 β =0 尽量小， 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变

0

x0

x

主讲： 主讲：夏师

7.4

按年龄分组的种群增长

不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律 建立差分方程模型，

假设与建模 种群按年龄大小等分为 个年龄组，记i=1,2,… , n 种群

按年龄大小等分为n个年龄组 个年龄组， 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等， 第i 年龄组 雌性个体在 时段内的繁殖率为bi 年龄组1雌性个体在 时段内的繁殖率 雌性个体在1时段内的繁殖率为 第i 年龄组在 时段内的死亡率为 i, 存活率为si=1- di 年龄组在1时段内的死亡率为 存活率为 时段内的死亡率为d

主讲： 主讲：夏师

假设 与 建模 b1 s 1 L= 0 b2 0

xi(k)~时段 第i 年龄组的种群数量 时段k第 时段 设至少1个 设至少 x1 ( k + 1) = ∑ bi xi ( k ) (设至少 个bi>0)i =1 n

x i +1 ( k + 1) = s i x i ( k ), i = 1, 2 , L , n 1L bn 1 0 O s2 O s n 1 0 bn 0 M 0

x ( k ) = [ x1 ( k ), x2 ( k ),L xn ( k )]~按年龄组的分布向量 按年龄组的分布向量

T

x ( k + 1) = Lx ( k )

x ( k ) = L x (0)k

~Leslie矩阵 矩阵 矩阵(L矩阵 矩阵 矩阵)

预测任意时段种群 按年龄组的分布

主讲： 主讲：夏师

稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根λ1, λ k ≤ λ1 , k = 2 ,3, L n 矩阵存在正单特征根 矩阵存在正单特征根λ T s1 s1 s2 s1 s2 L sn 1 * 特征向量 x = 1, , 2 , L, n 1 λ1 λ1 λ1 若L矩阵存在 i, bi+1>0, 则 λ k < λ 1 , k = 2 ,3, L , n 矩阵存在b 矩阵存在 x(k ) 是由b 且 lim 是由 决定的常数 = cx * , c是由 i, si, x(0)决定的常数 k k→∞ λ1 解 x ( k ) = Lk x ( 0 ) L对角化 L = P[ diag ( λ1 , L λ n )] P 1 对角化 释 k k k 1 P的第 列是 * 的第1列是 的第 列是x L = P [ diag ( λ1 , L λ n )] Plim x(k )k λ1 k →∞

= Pdiag (1,0, L 0) P 1 x (0) = cx*

主讲： 主讲：夏师

稳态分析——k充分大 充分大 稳态分析 种群按年龄组的分布k *

lim k→∞

x(k )

λ 1k

= cx *

种群按年龄组的分布趋向稳定， 1) x ( k ) ≈ c λ x ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定， 称稳定分布, 与初始分布无关。 x*称稳定分布 与初始分布无关。

2 ) x ( k + 1) ≈ λ x ( k )

xi (k + 1) ≈ λxi (k )与基本模型

~ 各年龄组种群数量按同一 倍数增减， 倍数增减， λ称固有增长率

x ( k + 1) = Lx ( k ) 比较T

3)λ=1时 x ( k + 1) ≈ x ( k ) ≈ cx * ) 时

x = [1, s1 , s1 s 2 , L s1 s 2 L s n 1 ]*

~ 各年龄组种群 各年龄组种群 数量不变

主讲： 主讲：夏师

稳态分析3)λ=1时 Lx = x ) 时* *

x = [1, s1 , s1 s 2 , L s1 s 2 L s n 1 ]*

T

b1 s 1 L = 0

b2 0

L O

b n 1 0 0

s2 O

s n 1k *

bn 0 M 0 *

b1 + b2 s1 + L + bn s1s2 Lsn 1 = 1~ 1个个体在整个存活 个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1 期内的繁殖数量为T

4 ) x ( k ) ≈ c λ x , x = [1, s 1 , s 1 s 2 , L , s n

1 ]x i + 1 ( k ) ≈ s i x i ( k ), i = 1, 2 , L , n 1

~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比 存活率 比较) (与si 的定义 x i +1 ( k + 1) = s i x i ( k ) 比较)