计算机技术在概率论和数理统计中的应用

概率论与数理统计 和计算机技术的联系,以计算机技术为主分析十分浅陋粗鄙

计算机技术在概率论和数理统计中的应用

[Abstract]This paper mainly focuses on the appliance of computer science and

technology in the realm of probability and mathematical statistics. The generator of random number and Monte Carlo method both need the assistance of computer

technologies. Additionally, linear regression and some other diagram of probability distribution such as normal distribution will be done easily with more accuracy. With the help of computer, we can enjoy the convenience and betterment of the probability and mathematical statistics, in order to have a splendid life in a scientific way.

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科，是理工科各专业的一门重要的基础课程，其理论方法独特、抽象，既有严密的数学基础，又与众多学科有着密切的联系。随着科学技术，尤其是计算机的迅速发展，它已广泛应用于经济管理、工程技术、金融、生物、环境、国防等领域。

一、随机数与伪随机数的生成

在生活中，最困扰人们的一个问题就是如何做出一个无关痛痒、随意的选择——随机数。随机数最重要的特性是它在产生时后面的那个数与前面的那个数毫无关系，因而可以给人们一种下一状态不可测的感觉，广泛地应用于抽奖、密码学中。真正的随机数是使用物理现象产生的：比如掷钱币、骰子、转轮、使用电子元件的噪音、核裂变等等。在真正关键性的应用中，比如在密码学中，人们一般使用真正的随机数，这样的随机数生成器属于物理性随机数生成器，但是对技术的要求比较高。

所以在实际应用中往往使用伪随机数就足够了。这些数列是“似乎”随机的数，实际上它们是通过一个固定的、可以重复的计算方法产生的。它们并不真正地随机，因为它们实际上是可以计算出来的，但是它们具有类似于随机数的统计特征。这就是伪随机数生成器，按一定的算法和种子值生成。

在C++高级语言中，使用rand()函数和srand()函数来生成“伪随机数”。例如下面的代码生成10个0～6之间的随机整数（不含6本身）

for(int i=0;i<10;i++){

ran_num = rand() % 6;

cout<<ran_num<<" ";

}

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每次的输出结果都是5 5 4 4 5 4 0 0 4 2

使用srand()函数则可以设置一个时间种子，根据种子设置的不同可以得到不同的随机数序列：

srand(1);//设置时间种子为1

for(int i=0;i<10;i++){

ran_num=rand() % 6;

cout<<ran_num<<" ";

}

每次运行的输出结果：5 5 4 4 5 4 0 0 4 2

srand(6);//设置时间种子为6

for(int i=0;i<10;i++){

ran_num=rand() % 6;

cout<<ran_num<<" ";

}

每次运行的输出结果：4 1 5 1 4 3 4 4 2 2

每次运行的输出结果都是相同的，属于可预测的伪随机数生成。

而在计算机中，还可以通过梅森旋转算法（Mersenne twister）快速产生高质量的伪随机数。通常使用两个相近的变体，不同之处在于使用了不同的梅森素数。一个更新的和更常用的是MT19937，32位字长。还有一个变种是64位版的MT19937-64。对于一个k位的长度，梅森旋转算法会在 0，2 1 的区间之间生成离散型均匀分布的随机数。

伪随机数的一个特别大的优点是它们的计算不需要外部的特殊硬件的支持，因此在计算机科学中伪随机数依然被使用。真正的随机数必须使用专门的设备，比如热噪讯号、量子力学的效应、放射性元素的衰退辐射，或使用无法预测的现象，譬如用户按键盘的位置与速度、用户运动鼠标的路径坐标等来产生。

二、蒙特卡罗方法的计算机实现

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），是一种使用随机数，或更常见的伪随机数来解决很多计算问题的方法，也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）

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等领域应用广泛。

当所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程，例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。而当所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。

假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡罗方法基于这样的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。借助计算机程序可以生成大量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的比例和坐标点生成范围的面积就可以求出图形面积。通过一些数学上的关系和计算公式，可以计算出一些特殊常数、参数的数值。

此外对一些难以直接计算出的积分也可以使用此方法来估算，对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，

从而可以得到函数

例如使用蒙特卡罗方法

估算π值，放置30000个

随机点后，π 的估算值与

真实值相差0.07%

图1 – Monte Carol Method用于估算圆周率π 的数值

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积分的近似值。此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差只与m，不随

积分维数的改变而改变。因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

三、计算机数学软件与数理统计

在回归分析中，两个随机变量X，Y之间存在着某种相关关系，尤其在物理实验中，常常通过作图法得到一条直线，其斜率的值是一个包含所测物理常量的表达式，从而得出所测物理量。常见的就是一种线性关系，通过最小二乘法来逼近和拟合，可以近似的得到X，Y之间的线性关系。

而通常的作图由于人眼本身的局限性，较难十分准确的做出最小二乘下的拟合直线，存在偏差，而直接使用最小二乘法计算有十分繁杂，从而有了数学软件的使用，如MATLAB等，可以十分方便地得出拟合曲线方程的各个参数。极大地减少了人的工作量，并且精确性也较高。

此外还有R软件，R是一个统计计算语言，主要用于统计分析、绘图、数据挖掘。可以绘制出自由度为给定n的 2( )分布图， 分布图等，并且可以根据所给的x计算出标准正态分布Φ = ∞ 2 的值，以及 2分布的上分为点的数值等。都可以给予人们在数理统计上的方便 …… 此处隐藏：2490字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……