动力 工程流体力学 chapter3 流体静力学 120910

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工程流体力学第三章 流体静力学

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第1节 流体静压强及特性流体静压强的概念和两个特性

面的内法线方向。(与受压面垂直并指向受压面)

特性一(方向特性): 流体静压强的作用方向沿作用特性二(大小特性):任意一点压强大小和受压面方向

无关。(作用于同一点上各方向的静水压强大小相等)

A B方向特性

pc pc

pc

h

大小特性

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特性1的证明：静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面.

证明方法：……?? 反证法

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特性2的证明：静压强的大小与作用面在空间的方位无关， 即作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。

边长 δx、δy、δz 静压强 px、py、pz和pn 密度 ρ 单位质量力的分量 fx 、fy、fz A

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z

D Δz 0‘ Δx Δy

△FPn

n

ΔFpy ΔFpx

X方向： Fp x Fp n cos( n , x )

C

B

△FPz

Fp x Fpn 1 xf x 0 Ax An 3

1 x y zf x 0 6

Fp x Fpn 1 lim lim lim xf x 0 Ax An 3

p x p y pz pn

px pn

作为连续介质的静止液体内，任一点静水压强仅是空间 坐标的函数而与受压面方向无关，即p=p(x,y,z)

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3.2 液体的平衡微分方程式及其积分表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力间的关系式

一 液体微团受力分析z

设想在平 衡液体中 取出一块 平行六面 微元体

p dy p y 2

A

dz

p

p d y y 2

dx dy O

y

x

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A点坐标为(x,y,z),静水压强为pX方向 侧面中心点 压强(泰勒级数)

面积dydzdydz

表面力

左侧面

右侧面

dx ) (x dx , y, z) (p 2 x 2 (x dx , y, z) (p p dx ) 2 x 2

p

z

p dy p y 2

A

dz

p

p d y y 2

dx dy O

y

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质量力

p dy p y 2

A

dz

p

p d y y 2

dx dy

O

y

令fx ,fy ,fz表示作用于微分六面体 上的单位质量力在x,y,z轴上的投影， 则总质量力在x方向的投影为： x:fx ρdxdydz y: fy dxdydz z: fz dxdydzx

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平衡条件：当六面体处于平衡状态时，所有作用于六 面体上的力，在三个坐标轴方向的投影的和应等于0。 p d x p d x X方向： (p )d yd z (p )d yd z fxdxdydz 0 x 2 x 2方程两边同除以dxdydz并简化得到：

p fx (1) x

p d y p d y Y方向： (p )dxdz (p )dxdz fydxdydz 0 y 2 y 2

p f y (2) y

p d z p d z Z方向： (p )dxdy (p )dxdy fzdxdydz 0 z 2 z 2

p f z (3) z

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流体的平衡微分方程式：x方向的平衡方程式 化简得 p x p x f x x y z p y z p y z 0 x 2 x 2

p f x x y z x y z 0

x

1 p fx 0 x(1) (2)

同理得

1 p fx 0 x1 p fy 0 y

1 p fz 0 z

(3)

——流体的平衡方程式(Euler 欧拉平衡方程)

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◆二 压强差公式

等压面

fx

1 p 0 x

1 p fy 0 y

1 p fz 0 z

压强差公式:

p p p dp dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z

微分形式的等压面方程

f x dx f y dy f z dz 0

等压面性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力 垂直于经过该点的等压面.

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等压面及其特性：等压面: 液体中压强相等的点连成的面 (可能是曲面或平面)

水

水银

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重力作用下等压面A 油

B

水G D

水F C D C E

G

水银

E

重力作用下的等压面条件： 连通、同一种液体、水平面

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不连续液体或一水平面穿过两种不同介质， 此水平面上各点压强不相等。

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三

流体平衡的条件

力势函数

fx fy

1 p 0 x1 p 0 y

p p p dp dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z

fz

p x fx p f y y p f z z

1 p 0 z

2 p f x 不可压缩均质 y y x 2 p f y x x y

fx fy y x

单位质量力分量之间有下述关系 f y f x x y f x f z z x f z f y y z

写成矢量形式：

f rotf 0

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单位质量力分量之间有下述关系 f y f x x y f x f z z x f z f y y z

力的势函数 x, y, z

上式是质量力具有力的势函数的充要条件 fx x fy yfz z

写成矢量

f grad

上式表明,对于不可压缩流体,质量力存在势函数, 此时,质量力为有势的力。 等势面 有势力 正压流体与斜压流体