不等式选讲随堂练习(含答案)

不等式选讲

基础巩固强化

于( )

1.若关于x的不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的值等

A．2 B．－2 C．4 D．－4 [答案] D

[解析] 由条件知－1、2都是方程|ax＋2|＝6的根，代入解得a＝－4.

111ab

2．(文)已知0<a<b，且M＝＋N＝＋，则M、

1＋a1＋b1＋a1＋bN的大小关系是( )

A．M<N C．M＝N [答案] B

1

[解析] ∵0<a<b，∴ab<1，a>0，b>0， 1－a1－b

∴M－N＝＋

1＋a1＋b

1－a 1＋b ＋ 1＋a 1－b 2 1－ab ＝，

1＋a 1＋b 1＋a 1＋b ∴M>N.

ab

(理)若a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，M＝，N＝ab，

ba则M，N的大小关系为( )

A．M>N B．M<N C．M≥N D．M≤N [答案] A

B．M>N D．不确定

ab

[解析] 解法一：∵a≠b，∴b>2aa>2b.

ba∴

ab

b＋aa＋b， ba

ab

∴＋a＋b.即M>N，故选A.

ba解法二：∵a>0，b>0，a≠b， ∴M－N＝

a－bb－a

＋ ba

a－bab a－b 2 a＋b

＝，

abab∴M>N.

3．(文)(2011·皖南八校联考)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．[－1,4] C．[－2,5] [答案] A

[解析] 由绝对值的几何意义易知：|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.

(理)已知命题p： x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q： x∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的( )

A．充要条件 C．充分不必要条件 [答案] A

[解析] 由绝对值不等式的几何性质可知， x∈R，|x＋2|＋|x－

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，故若命题p为真命题，则m≤3；当命题q为真命题时，方程x2－2mx＋m2＋m－3＝0有根，则Δ＝(－2m)2－4(m2＋m－3)＝12－4m≥0，解得m≤3；所以“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的充要条件．

4．若a，b∈R且a≠b，则在①a2＋ab>2b2；②a5＋b5>a3b2＋a2b3；③a2

＋b2

≥2(a－b－1)；④ba

ab>2.这四个式子中一定成立的有( A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

[答案] D

[解析] ①中a2＋ab－2b2＝(a＋b9

2)2－4b2>0不一定成立， ②中a5＋b5－a3b2－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2) ＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． 当a＋b<0时，不等式不成立，

③中a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0 故③成立，④中ab<0时不成立，故只有③正确．

5．若不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a2－a对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－∞，2) D．(2，＋∞)

[答案] B

2x＋1， x[解析]

∵|x－4|＋|x＋5|＝

≥4， 9， －5<x<4，

－2x－1， x≤－5，

∴|x－4|＋|x＋5|≥9，∴log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，

)

由题设条件知a2－a<2，∴－1<a<2.

6．(2012·济南二模)对于实数x、y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )

A．5 C．8 [答案] A

[解析] 由题得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋|2(y－2)|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.

7．(2011·郑州二检)不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为________．

[答案] (－∞，－3)

[解析] 解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，∴－3≤P(A)－P(B)≤3，∴|x＋1|－|x－2|的最小值为－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．

B．4 D．7

－3，x≤－1

解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝ 2x－1，－1<x<2，

3，x≥2

要使

|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．

8．已知a、b∈R＋，且a＋b＝1，则4a＋1＋4b＋1的最大值是________．

[答案] 23

[解析] ∵a、b∈R＋，a＋b＝1， 4a＋1＋4b＋1

2[ 4a＋1 2＋4b＋1 2]＝3.

9．设m＝a2b2＋5，n＝2ab－a2－4a，若m>n，则实数a，b满足的条件是________．

[答案] ab≠1或a≠－2

[解析] ∵m－n＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋1＋a2＋4a＋4 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0， ∴ab≠1或a≠－2.

10．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.

(1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围． [解析] (1)原不等式等价于

x>3 2

2x＋1 ＋ 2x－3 ≤6，

－1≤x≤32或 2

2x＋1 － 2x－3 ≤6，

x<－12或

－ 2x＋1 － 2x－3 ≤6.

3131解得2x≤2或－2x≤21≤x<－2

∴不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．

(2)∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，若不等式f(x)>a恒成立，只需a＜4，故a的取值范围是(－∞，4)．

(理)(2012·昆明一中测试)已知函数f(x)＝|x－a|＋a，若不等式f(x)≤4的解集为{x|2≤x≤4}．

(1)求a的值；

(2)若不等式f(x)≤mx的解集非空，求m的取值范围． [解析] (1)由|x－a|＋a≤4得：|x－a|≤4－a， ∴a－4≤x－a≤4－a，即∴2a－4≤x≤4， 又不等式f(x)≤4的解集为{x|2≤x≤4}， ∴2a－4＝2，∴a＝

3.

(2)由函数y＝f(x)与函数y＝mx的图象可知，

当且仅当m≥1或m<－1时，函数y＝f(x)与函数y＝mx的图象有交点．

故不等式f(x)≤mx的解集非空时，

m的取值范围为：(－∞，－1)∪[1，＋∞).

能力拓展提升

11.(文)(2011·课标全国文，24)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0， (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集． (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． [解析] (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为 {x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.

x≥a， x<a，此不等式化为不等式组 或

x－a＋3x≤0， a－x＋3x≤0，

x≥a，

即 a x≤4，

x<a，或 a x≤－2.

a

因为a>0，所以x≤－2，

a

所以原不等式的解集为{x|x≤－2}． a

2＝－1，故a＝2.

(理)(2011·大同市高三模拟)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.

(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；

(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围． [解析] (1)不等式f(x)＋a－1>0 即|x－2|＋a－1>0，

当a＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a>1时，解集为R；

当a<1时，解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋ …… 此处隐藏：4319字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……