【最新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式33排序不等式课后

【最新】高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式33排序不等式课后导练新人教A版选修4 5

1 3.3 排序不等式

课后导练

基础达标

1若A=x 12+x 22+…+x n 2,B=x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1, 其中x 1,x 2,…,x n 都是正数,则A 与B 的大小关系是( )

A.A>B

B.A<B

C.A≥B

D.A≤B

解析:依序列{x n }的各项都是正数,不妨设x 1≤x 2≤…≤x n ,则x 2,x 3,…,x n ,x 1为序列{x n }的一个排列.

依排序原理,得x 1x 1+x 2x 2+…+x n x n ≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1,即x 12+x 22+…+x n 2

≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1.

答案:C

2设a,b 都是正数,P=(b a )2+(a b )2,Q=b a +a b

,则( )

A.P≥Q

B.P≤Q

C.P>Q

D.P<Q

解析:

∵a,b 都是正数,∴a b 、b a 2

2与b 1,a 1

顺序相同. ∴b a 2·b 1+a b 2·a 1≥b a 2·a 1+a b 2·b 1

. ∴(b a

)2+(a b

)2≥b a +a b

,即P≥Q.

答案:A

3设a,b,c∈R ,则c ab

b ca

a bc ++____________a+b+c.

解析:设a≥b≥c≥0,则bc≤ca≤ab,a 1≤b 1≤c 1

, ∴c ab b ca a bc ++≥ac·c 1+a ab +b bc

=a+b+c.

答案:≥

4若△ABC 的三内角为A,B,C,三边为a,b,c,则c b a cC

bB aA ++++___________3π

.

解析:设a≤b≤c,A≤B≤C.

作序列a,a,a,b,b,b,c,c,c,A,A,A,B,B,B,C,C,C.

aA+aA+aA+bB+bB+bB+cC+cC+cC

≥(aA+aB+aC)+(bA+bB+bC)+(cA+cB+cC), ∴3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C),即c b a cC

bB aA ++++≥3C

B A ++=3π

.

答案:≥

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2 5设a,b,c∈R ,求证:a a b b c c ≥(abc)

3c b a ++. 证明:∵a,b,c∈R ,

∴lg(a a b b c c )=alga+blgb+clgc, lg(abc)3c b a ++=3

c b a ++(lga+lgb+lgc). 设a≤b≤c,作序列a,a,a,b,b,b,c,c,c,lga,lga,lga,lgb,lgb,lgb,lgc,lgc,lgc. 3(alga+blgb+clgc)≥a(lga+lgb+lgc)+b(lga+lgb+lgc)+c(lga+lgb+lgc),

即alga+blgb+clgc≥

3c b a ++(lga+lgb+lgc), ∴a a b b c c ≥(abc)3c b a ++.

综合运用

6设a,b,c 是某三角形的三边长,证明a 2b(a-b)+b 2c(b-c)+c 2a(c-a)≥0,并问何时取等号?

证明:不妨设a≥b≥c,此时

a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c),

于是由排序不等式可得

c 1·a(b+c -a)+a 1·b(c+a -b)+b 1·c(a+b -c)≤a 1·a(b+c -a)+b 1·b·(c+a -b)+c 1·c(a+b -c)=a+b+c, 即

c 1a(b-a)+a 1b(c-b)+b 1c(a-c)≤0, a 2b(a-b)+b 2c(b-c)+c 2a(c-a)≥0, 上式当且仅当

a 1=

b 1=

c 1,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c 时取等号. 7已知a 1,a 2,…,a n 是n 个两两互不相等的正整数,求

证:a 1+n n

a a a n 1312113222322++++≥+++ . 证明 :注意到22221312111n

≥≥≥≥ ,所以2232232n a a a n +++ 可以看作一个乱序和,将a 1,a 2,…,a n 排序后就可以利用排序原理.

因为a 1,a 2,…,a n 是n 个两两互不相等的正整数,可将它们从小到大排列,不妨设b 1<b 2<…<b n ,从而b k ≥k(k 为正整数),由排序不等式可得

2232232n a a a n +++ ≥b 1+2

232232n b b b n +++ n

n n 13121133221222++++≥++++≥ 8设x i ,y i 是实数(i=1,2,…,n),且x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n ,又z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的任一排列,证明21

2

1)()(∑∑==-≤-n i i i n i i i z x y x

.

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3 证明:由排序不等式,得∑∑==≥n i i i n i i

i z x y x 11

,则∑∑==-≤-n i i i n i i i z x y x 1122. 又∵∑∑∑∑====+=+n i i n i i n i i n i i z x y x

1212121

2, ∴∑∑∑∑∑∑======+-≤+-n i i i n i i n i i n i n i i i i n

i i z z x x y y x x 121121121222,

即2

121)()(∑∑==-≤-n i i i n i i i z x y x

. 拓展探究

9若α,β,γ均为锐角,且满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1,

求证:cot 2α+cot 2β+cot 2γ≥

23. 证明:∵cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1,

cos 2α=1-sin 2α,

∴sin 2α+sin 2β+sin γ=2.

又sin α2+cos 2α=1,

∴1+cot 2α=

α2sin 1. ∴3+cot 2α+cot 2β+cot 2γ = γ

βα222sin 1sin 1sin 1++, (sin 2α+sin 2β+sin 2γ)(γ

βα222sin 1sin 1sin 1++) ≥［sin α·γ

γββαsin 1sin sin 1sin sin 1?+?+］2=9, 即2·(γ

βα222sin 1sin 1sin 1++)≥9(柯西不等式). ∴3+cot 2α+cot 2β+cot 2γ≥29.∴cot 2α+cot 2β+cot 2γ≥2

3. 备选习题

10设a,b,c 是某三角形的三边长,证明a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤3abc.

证明:不妨设a≥b≥c,容易验证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c),由排序不等式可得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤ba(b+c -a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c),①

及a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤ca(b+c -a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c),②

①+②并化简即得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤3abc.

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4

11设a,b,c 均为正数,求证:a+b+c≤abc

c b a 4

44++.

证明:不妨设a≥b≥c>0,则有a 2

≥b 2

≥c 2

,ab≥ac≥bc,由排序不等式得a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 3c+b 3a+c 3

b.

又a 3≥b 3≥c 3且a≥b≥c,再由排序不等式得a 3c+b 3a+c 3b≤a 4+b 4+c 4

.

从而a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 4+b 4+c 4

,两边同除以abc 即得所证不等式.

12设a k 是两两互异的自然数(k=1,2,…),证明对任意自然数n,均有∑∑==≥n

k n

k k k

k a 1121

.

证明:设b 1,b 2,…,b n 是a 1,a 2,…,a n 的一个排列,使b 1<b 2<…<b n ,则从条件知对每个

1≤k≤n,b k ≥k,于是由排序不等式可得∑∑∑===≥≥n

k n k k n

k k k

k b k a 112121

.

13已知x i ∈R (i=1,2,…,n;n≥2)满足∑=n

i i x 1

||=1,∑=n

i i x 1

=0,求证:|∑

=n

i i i

x 1

≤21-n 21

.

证明:设

i 1,i 2,…,i s ,j 1,j 2,…,j t 是1,2,…,n 的一个排列,且使得

t s j j j i i i x x x x x x ≥≥≥>≥≥≥≥ 21210.

又设a=i i i i x x x +++ 21,b=-(t j j j x x x +++ 21),根据已知条件,有a-b=0,a+b=1,所以=b=

2

1

. 不妨设

∑

=n

i i i x 1

≥0,(否则,若∑=n

i i i x

1<0,取y i =-x i ,i=1,2,…,n,此时y 1,y 2,…,y n 仍满足∑=n

i i

y

1

||=1,∑=n

i i y 1

=0,且|∑

=n

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