同济高等数学第一章第一节课件

同济大学 高等数学第七版

§1.1 映射与函数一、集合 二、映射

三、函数

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一、集合1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为a M, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为a M, 读作a不属于M.

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集合的表示 列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a, b, c, d, e, f, g}. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质 P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为 M {x | x具有性质P }. 例如M {(x, y)| x, y为实数, x2 y2 1}.

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几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.

所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.

子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子 集, 记为A B(读作A包含于B). A B 若x A, 则x B. 显然, N Z, Z Q, Q R.

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2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 A B {x|x A或x B}称为A与B的并集(简称并). A B {x|x A且x B}称为A与B的交集(简称交). A\B {x|x A且x B}称为A与B的差集(简称差). AC I\A {x|x A}为称A的余集或补集, 其中I为全集.

提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行, 所 研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 A B B A, A B B A; (2)结合律 (A B) C A (B C), (A B) C A (B C); (3)分配律 (A B) C (A C) (B C), (A B) C (A C) (B C); (4)对偶律 (A B)C AC BC, (A B)C AC BC. (A B)C AC BC的证明 x (A B)C x A B x A且x B x AC且x BC x AC BC, 所以(A B)C AC BC.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 A B {(x, y)|x A且y B} 称为集合A与集合B的直积. 例如, R R {(x, y)| x R且y R }即为xOy面上全体点 的集合, R R常记作R2.

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3.区间和邻域 有限区间

数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b) {x|a<x<b}. [a, b] {x|a x b}——闭区间.[a, b) {x|a x<b}——半开区间, (a, b] {x|a<x b}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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3.区间和邻域 无限区间 [a, ) { x|a x}, (- , b] { x|x b}, (a, )

{ x|a<x}, (- , b) { x|x<b}, (- , ) { x| |x|< }.

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邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设 >0, 则称 U(a, ) (a- , a ) {x| |x-a|< } 为点a的 邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半 径.

去心邻域 。 U(a, ) {x|0<|x-a|< }.

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二、映射1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X Y. y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y f(x), 元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作Df , 即Df X. X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf f(X) {f(x)|x X}.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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二、映射1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X Y. 需要注意的问题 (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即 定义域Df X; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使 对每个x X, 有唯一确定的y f(x)与之对应.

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二、映射1.映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使 得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与 之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X Y. 需要注意的问题 (2)对每个x X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y Rf, 元素y的原像不一定是唯一的 ; 映射f的值域Rf是Y的一个 子集, 即Rf Y, 不一定Rf Y .

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例1 设 f : R R, 对每个x R, f(x) x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y 0}. 例2 设X {(x, y)|x2 y2 1}, Y {(x, 0)||x| 1}, f : X Y, 对每个(x, y) X, 有唯一确定的(x, 0) Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域Df X, 值域Rf Y.

说明: Rf 是在几何上 R的一个真子集 , 这个映射表示将平面上一个圆心在原点 . 的单位圆周上的点投影到 对于Rf中的元素y, 除yx 轴的区间 0外, 它的原像不是唯一的 [-1, 1]上. . 如y 4的原像就有x 2和x -2两个.首页 上页 返回 下页 结束 铃

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例1 设 f : R R, 对每个x R, f(x) x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf {y|y 0}. 例2 设X {(x, y)|x2 y2 1}, Y {(x, 0)||x| 1}, f : X Y, 对每个(x, y) X, 有唯一确定的(x, 0) Y与之对应. f 是一个映射, f 的定义域Df X, 值域Rf Y.

例 3 例 3 设 f :[- , ] [-1, 1], 对每个 x [- , ] , 2 2 2 2 f

(x) sin x . f 是一个映射, 定义域 D f [- , ] , 值域 R f [-1, 1]. 2 2

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满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X 到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1 x2, 它们的像f(x1) f(x2), 则 称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 讨论: 下述三个映射各是什么映射？ (1) f : R R, 对每个x R, f(x) x2. (2)设X {(x, y)|x2 y2 1}, Y {(x, 0)||x| 1}, f : X Y, 对 每个(x, y) X, 有唯一确定的(x, 0) Y与之对应.首页 上页 返回 下页 结束 铃