高中数学必修5第三章课件基本不等式 人教A版

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基本不等式

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赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？International Congress of Mathematicians

ICM 2002

BejingAugust 20-28,2002

赵爽弦图

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若a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab 该结论成立a,b需要什么条件？ 形的角度 数的角度2+b2-2ab a 2≥0 =(a-b)

a>0,b>0

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若a,b∈R,那么 (当且仅当a=b时，取“=”号) 公式中等号成立的条件是什么？

2+b2≥2ab a

形的角度

数的角度

a=b

当a=b时 a2+b2-2ab =(a-b)2=0

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若a,b∈R,那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时，取“=”号) 你能用文字语言叙述吗？ 数的角度:两个数平方之和不小于该两数

积的2倍

a2+b2

2ab

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问：以下不等式是否成立？ 2+b2≥-2ab, a2+b2 ≥2|ab| a2+b2≥2ab 若a,b∈R,那么a

(当且仅当a=b时，取“=”号) 如果用 a , b 去替换a、b,前提

是什么？能得到什么结论?

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若a>0 b>0 若a∈R,b∈R 2+b2≥2 a b 那么a + b ≥2 a b 那么a 基本不等式：

a b ab (a 0, b 0) 2 (当且仅当a=b时，取“=”号)

问；你能证明吗？

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如图AB是直径，点C是AB上的一 点，设AC=a,BC=b,过C点作 垂直与AB的弦DE,并连接AD,BD, 你能此图几何解释基本不等式吗 D半径不小于半弦A

a b O a 2

C

abbB

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熟悉运算结构 我们把

叫做a,b的算术平均数， 把 ab 叫做a,b的几何平均数。 从形的角度来看，基本不等式具有 特定的几何意义；从数的角度来看， 基本不等式揭示了“和”与“积” 这两种结构间的不等关系。 回忆一下你所学的知识中，有哪些 地方出现过“和”与“积” 的结构？

a b 2

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发现运算结构,应用不等式

1 试判断 x ( x 0)与 2 的大小关系？ x 如果将条件“x>0”

去掉，上述结论是否

仍然成立？

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发现运算结构,应用不等式

b a (a 0, b 0) 与 变式1.试判断 a b 2 的大小关系？ 在结论成立的基础上，条件“a>0,b>0”

可以变化吗？变式2.试判断

4 x( x 3) 与 7的 x 3 大小关系？

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发现运算结构,应用不等式 变式3.试判断

x(2 x)(0 x 2)

与 1 的大小关系？

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知识要点：

你能总结一下吗

(1)重要不等式和基本不等式的条件 及结构 特征 (2)基本不等式在几何、代数二方面 的意义

思想方法技巧：

(1)数形结合思想 (2)换元法、作差法 (3)配凑等技巧