线性代数(经管类)串讲

经管类线性代数全国统考考前串讲(上)

《线性代数》经管类考前串讲

BY KPZHU

18 January 2016

经管类线性代数全国统考考前串讲(上)

本串讲针对”线性代数”(经管类)课程考试 总结各章考核要点,基本概念,基本理论和方法 通过典型例题讲解考核要点,帮助理解公式用法 理清知识点脉络,减少背公式压力 配套模拟复习巩固

如果你配合认真听并按要求认真复习,你一定能过

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大纲概要

重点:行列式计算;矩阵计算;解方程组 识记15”,领会35”,简单应用35”,综合应用15”

5个单选题10分;10个填空30分;8个计算题52分;2个证明题8分 行列式13分; 矩阵26分; 向量空间21分; 线性方程组19分; 特征值特征向量16分; 二次型5分

闭卷150分钟, 可使用计算器, 60/100过关

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第一章(一)行列式的定义

行列式

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1.二阶行列式由 4个数 a ij (i, j= 1,2)得到下列式子：

a11 a12 a21 a22

称为一个二阶行列式，其运算规则为

a11 a12 a 21 a 22

= a11 a 22 a12 a 21

2.三阶行列式a11 a12 a13由 9个数 a ij (i, j= 1,2,3)得到下列式子： a 21 a 22 a 23

a31 a32 a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

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3.余子式及代数余子式a11 a12 a13设有三阶行列式

D3= a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33

我们划去它所在的第 i行及第 j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，对任何一个元素 aij,称它为元素 a ij的余子式，记成 M ij

例如

M 11=

a 22 a 23 a32 a33i+ j

, M 21=

a12 a13 a32 a33

, M 31=

a12 a13 a 22 a 23

再记 Aij= ( 1)

M ij,称 Aij为元素 aij的代数余子式.

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再记 Aij= ( 1)例如

i+ j

M ij,称 Aij为元素 a ij的代数余子式.

A11= M 11, A21= M 21, A31= M 31

那么，三阶行列式 D3定义为

a11 a12 a13 D3= a 21 a 22 a 23= a11 A11+ a 21 A21+ a31 A31 a31 a32 a33我们把它称为 D3按第一列的展开式，经常简写成 D3=

∑ai=1

3

i1

Ai1=∑ ( 1) i+1 ai1 M i1i=1

3

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4.n阶行列式

一阶行列式 D1= a11= a11

a11 a12 L a1nn阶行列式

Dn=

a 21 a 22 L a 2 n LLL a n1 a n 2 L a nn

= a11 A11+ a 21 A21+ L+ a n1 An1

其中 Aij (i, j= 1, 2,L, n)为元素 a ij的代数余子式.

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5.特殊行列式a11上三角行列式

a12 L a1n a22 L a2 n L L L 0 0 L ann L 0 0= a11a22 L ann= a11a22 L ann

0 L 0 a11

下三角行列式

a21 L an1 a11

a22 L

L L L an 2 L ann 0 L 0 0

对角行列式

0 L 0

a22 L 0

L L L L ann

= a11a22 L ann

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（二）行列式的性质

性质1 行列式和它的转置行列式相等，即D=D

性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行 列式可以按行和列提出公因数.

性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.

推论 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.

性质4 行列式可以按行（列）拆开.

性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元 素上去，所得的行列式仍为D.

推论 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

T

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定理 1(行列式展开定理) n阶行列式 D= a ij等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即n

D= ai1 Ai1+ ai 2 Ai 2+ L+ ain Ain (i= 1,2, L, n) D= a1 j A1 j+ a 2 j A2 j+ L+ a nj Anj ( j= 1,2, L, n)前一式称为 D按第 i行的展开式，后一式称为 D按第 j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.

定理 2 n阶行列式 D= aij的任意一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积n

之和等于零.即

ai1 Ak1+ ai 2 Ak 2+ L+ ain Akn= 0(i≠ k )

a1 j A1s+ a 2 j A2 s+ L+ a nj Ans= 0( j≠ s )

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（三）行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法：

（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是， 在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是 利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开

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例1

计算行列式 D4=

2 1 4 1 3 1 2 1 5 2 3 2 7 0 2 5

解：观察到第二列第四行的元素为 0,而且第二列第一行的元素是 a12= 1,利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为 0,然后按第二列展开.

5 6 2 3 1 2 1 2行+ 1× 1行 5 0 6 2 D4=按第二列展开 1 5 0 5 2 3 2 3行+ ( 2)× 1行 1 0 5 0 7 2 5 7 0 2 5 7 0 2 5 31 2 2+ 5× 1列 1 0 0按第二行展开 列= 81 37 5 7 37 5 5 31 2

2 1 4 1

2 1 4 1

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a b例 2计算行列式 D4= b b

b a b b

b b a b

b b b a

解：方法 1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 a+ 3b (我们把它称为行和相同行列式),我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子 a+ 3b,再将后三行都减去第一行：

a b b b b a b b b b a b b b b a=

a+ 3b b b b a+ 3b a b b a+ 3b

b a b a+ 3b b b a 1 b 0 0 b 0 0 b 0 0 a b 0 0= (a+ 3b)

1 b b b 1 a b b 1 b a b 1 b b a

= (a+ 3b)

a b 0 a b

= (a+ 3b)(a b) 3

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方法 2

观察到这个行列式每一行元素中有多个 b,我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与 D4

有相同值的五阶行列式：

a b b b

1行(× 1)+ 2,,,行 345 b a b b=0 b a b b= 1 D4= b b a b 0 b b a b 1 b b b a 0 b b b a 1

1 b b b b 0 a b b b

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