机械优化设计建模实例分析

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第八章机械优化设计实例第一节应用技巧 一、机械优化设计的一般过程 机械设计的全过程一般可分为： 1.建立优化设计的数学模型。 2.选择适当的优化方法。 3.编写计算机程序。 4.准备必须的初始数据并上机计算。 5.对计算机求得的结果进行必要的分析。

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二、建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切、简洁的反映工程问题的客 观实际。 数学模型的三要素：设计变量、目标函数、约束条件。 1.设计变量的选择 在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数 对目标函数的影响程度分析其主次，应尽量减少设计 变量的数目，以简化优化设计问题。 应注意各设计变量应相互独立，否则会使目标函数 出现“山脊”或“沟谷”,给优化带来困难。

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2.目标函数的确定 把最重要的指标作为目标函数，其余的次要的指标可 作为约束条件。对于一般机械，可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数； 对应力集中现象尤其突出的构件，则以应力集中系数最小为追 求的目标。 对于精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函 数。

3.约束条件的确定 约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值 范围的限制条件。

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三、数学模型的尺度变换 1.目标函数的尺度变换

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2.设计变量的尺度变换 当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索 方向上各自的灵敏度相差也很大。灵敏度大的搜索变化 快，灵敏度小的搜索变化慢。为了消除这种差别，可以 对设计变量进行重新标度。使它成为无量纲或规格化的 设计变量，这种处理称设计变量的尺度变换。

yi = ki xiki = 1/ xi* i *0

x = yi / ki

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3.约束函数的规格化 约束函数的尺度变换称规格化。 由于各约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数 值在量级上相差很大。 例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为 [σ]= 150MPa,而下横梁的许用挠度[δ]=0.5mm,约束函数 为： g1 ( x ) = σ 150 ≤ 0g 2 ( x ) = δ 0.5 ≤ 0

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两者对数值变化的灵敏度相差很大，这对优化设计 是不利的。 例如采用惩罚函数时，两者在惩罚项中的作用相差 很大，灵敏度高的约束条件在极小化过程中首先得到 满足，而灵敏度小的几乎得不到考虑。

g1 ( x ) = σ / [σ ] 1 ≤ 0 g 2 ( x ) = δ / [δ ] 1 ≤ 0

这样，各约束函数得取值范围都限制在[0,1]之 间，起到稳定搜索过程和加速收敛的作用。

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第二节机床主轴结构优化设计 一、数学模型的建立

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在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一 是主轴的自重；一是主轴伸出端c点的挠度。 对于普通机床，不要求过高的加工精度，对机床主 轴的优化设计，

以选取主轴的自重最轻为目标，外伸 端的挠度为约束条件。 当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决 定。孔径d、外径D、跨距l及外伸端长度a。由于机床 主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号 决定。不作为设计变量。故设计变量取为

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x = [ x1 x2 x3 ] = [l da ]T

T

机床主轴优化设计的目标函数为1 f ( x ) = πρ ( x1 + x3 ) ( x2 2 d 2 ) 4 再确定约束条件

g ( x ) = y y0 ≤ 0在外力F给定的情况下，y是设计变量x的函数,其值按 下式计算 2

Fa ( l + a ) y= 3π I

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I=

π64

D4 d 4 ) (

g ( x) =

2 64 Fx3 ( x1 + x3 )

3π E ( x d4 2

4

)

y0 ≤ 0

刚度满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条件可 不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围，即

lmin ≤ l ≤ lmax Dmin ≤ D ≤ Dmax amin ≤ a ≤ amax

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将所有的约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型 可表示为：

1 f ( x ) = πρ ( x1 + x3 ) ( x2 2 d 2 ) 4 2 64 Fx3 ( x1 + x3 ) g1 ( x ) = / y0 1 ≤ 0 4 4 3π E ( x2 d ) g 2 ( x ) = 1 x1 / lmin ≤ 0 g3 ( x ) = 1 x2 / Dmin ≤ 0 g5 ( x ) = 1 x3 / amin ≤ 0

g 4 ( x ) = x2 / Dmax 1 ≤ 0

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第三节 圆柱齿轮减速器的优化设计 圆柱齿轮减速器是一种非常广泛的机械传动装置。 目前我国减速器存在的问题：体积大，重量重、承载 能力低、成本高和使用寿命短等问题。 对减速器进行优化设计，就要考虑：提高承载能力、 减轻重量和降低经济成本。 减速器的优化设计一般是在给定功率P、齿数比u、 输入转速n以及其他技术条件和要求下，找出一组使 减速器的某项经济技术指标达到最优的设计参数。

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不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。 展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、 螺旋角及变位系数等。 行星齿轮减速器：除此之外，还可加行星轮个数。 设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设计 变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动中，只 能取Z1或Z2一个为设计变量。 又如中心距不可取为设计变量，因为齿轮齿数确定 后，中心距就随之确定了。

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不同的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心 距没有要求时，可取减速器最大尺寸最小或重量最轻 作为目标函数。