大学物理授课教案_第三章_动量守恒和能量守恒定律

第三章 动量守恒和能量守恒定律

§1-1质点和质点系的动量定理

一、质点的动量定理 1、动量

质点的质量m与其速度v

的乘积称为质点的动量，记为P 。

说明：⑴P 是矢量，方向与v

相同

⑵P

是瞬时量⑶P

是相对量

⑷坐标和动量是描述物体状态的参量

2、冲量

牛顿第二定律原始形式

F d dt

(mv)

由此有F dt d(mv

)

积分： t2

p2

tFdt dP p2 p1 1p定义： t2tF

dt称为在t 1

1

1 t2时间内力F对质点的冲量。

记为

说明：⑴I

⑵I

是矢量

⑶I

是过程量 是力对时间的积累效应 ⑷I

的分量式 I t2 xFdt t1x

I y t2tFydt 1

It2z tF1zdt

3-1）3-2）（3-3）（

（

(t t) t2Fdt

t1x x21

t2

∵ (t t) y21 t1Fydt （3-4）

t2

z(t2 t1) Fzdt

t1

Ix x(t2 t1)

∴分量式（3—4）可写成 Iy y(t2 t1) （3-5）

I (t t)

z21 z

x 、y、z是在t1 t2时间内Fx、Fy、Fz平均值。

3、质点的动量定理

由上知 I p p21 （3-6）结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。

说明：⑴I与p2 p1同方向

Ix p2x p1x

⑵分量式 Iy p2y p1y （3-7）

I p p

2z1z z

⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系

⑸动量原理对碰撞问题很有用

二、质点系的动量定理

概念：系统：指一组质点

内力：系统内质点间作用力

外力：系统外物体对系统内质点作用力

设系统含n个质点，第i个质点的质量和速度分别为mi、vi，对于第i个质点受合内

力为Fi内，受合外力为Fi外，由牛顿第二定律有

d(mivi)

Fi外 Fi内

dt

对上式求和，有

n n n

d(mivi)dn

F F (mv ii) i外i内

dtdti 1i 1i 1i 1

因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故F合内力 0，

d

有 F合外力 P （3-8）

dt

结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。 式（3-8）可表示如下

p2

Fdt dP p p 21 （3-9） t1合外力 p1

即 I合外力冲量 p2 p1 （3-10）

t2

结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。

例3-1：质量为m的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间 t，打击前铁锤速

率为v，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？

解：设竖直向下为正，由动量定理知：

t 0 mv

mv

t

强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量

例3-2：一物体受合力为F 2t（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5

秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？

解：设物体沿+x方向运动，

55

S（I1 Fdt 2tdt 25N·I1沿i方向） 00

1010

S（I2沿i方向） I2 Fdt 2tdt 75N·

5

5

I2/I1 3

∵ ∴

I2 ( p)2

I ( p)1 1

( p)2

3 ( p)1

例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为m 0.020kg，

速率v 5m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回 时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法 线夹角都为 60 °，

⑴求碰撞过程中小球受到的冲量I ?

解：⑴I ?

⑵设碰撞时间为 t 0.05s，求碰撞过程中

小球 受到的平均冲力F ?

如图3-1所取坐标，动量定理为I mv2 mv1

图 3-1

〈方法一〉用分量方程解

Ix

mv2x mv1x mvcos ( mvcos ) 2mvcos

I mv mv mvsin mvsin 0y2y1y

S I Ixi 2mvcos i 2 0.020 5 cos60 i 0.10iN·〈方法二〉用矢量图解

I mv2 mv1 m(v2 v1)

(v2 v1)如上图3-1所示。

∵ OBA 60 ,∴ A 60

故 OAB为等边三角形。

v2 v1 v 5m/s,(v2 v1)沿i方向

∴I mv2 v1 0.020 5 0.10N·S，沿i方向。 ⑵I F t

F I/ t 0.10i/0.05 2iN

t2

注意：此题按I Fdt求I困难（或求不出来）时，用公式I p求方便。

t1

§3-2动量守恒定律

由式（3-8

即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。

说明：⑴动量守恒条件：F合外力 0，惯性系。

⑵动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。 ⑶内力能改变系统动能而不能改变系统动量。

⑷F合外力 0时，若F合外力在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。

⑸动量守恒是指p 常矢量（不随时间变化），∴此时要求F合外力 0。 ⑹动量守恒是自然界的普遍规律之一。

例3-4：如图3-2，质量为m的水银球，竖直地落到

光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，

沿桌面运动。其中两等份的速度分别为v1、v2，

大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第 三等份的速度。

解：〈方法一〉用分量式法解

研究对象：小球

受力情况：m只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平 方向不受力，故水平方向动量守恒。

图 3-2

在水平面上如图3-2取坐标，有

x分量：m1v1cos m2v2cos(90 ) m3v3 0

y分量：m1v1sin m2v2sin(90 ) 0

m1 m2 m3

v v 0.30m/s2 1

v 2v 2 0.30 0.42m/s

∴ 3

45 135(即与v1成135）

〈方法二〉用矢量法解

∵ m1v1 m2v2 m3v3 0

及 m1 m2 m3

∴ v1 v2 v3 0

即 v3 (v1 v2)

2

图 3-3

即有图3-3。可得

2

v3 v3 (v1 v2) v12 v2 2v 0.42m/s 得 45 135

强调：要理解动量守恒条件

例3-5：如图3-4，在光滑的水平面上，有一质量为M长为l的小车，车上一端有一质

量为m的人，起初m 、M均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？

解：研究对象：m、M为系统

∵此系统在水平方向受合外力为零， ∴在此方向动量守恒。

〈方法一〉 mvm MvM 0（对地）

(vm vmM vM)

m(vmM vM) MvM 0

即 mvmM (m M)vM 0 如图所取坐标，标量式为

mvmM (m M)vM 0

即 mvmM (m M)vM

积分（t 0，m在A处，t t0，m在B处）

t0

t0

图 3-4

m …… 此处隐藏：7310字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……