高数同济第六版答案上册

成考

49页 1 计算下列极限

2x 5

(1)lim

x 2x 3

22x 52 5 9 解 lim

x 2x 32 3

2

x 3

(2)

x x 1

2()2 3x 3 解 0 x x 1()2 1

x2 2x 1lim (3) x 1x2 1

2(x 1)2x 2x 1x 1 0 0 lim lim 解 lim x 1x 1(x 1)(x 1)x 1x 12x2 132

4x 2x x

(4)lim 2x 03x 2x

4x3 2x2 x lim4x2 2x 1 1lim 解 x 03x 2xx 03x 22

(x h)2 x2

(5)lim

h 0h

222(x h)2 x2x 2hx h x lim lim(2x h) 2x 解 limh 0h 0h 0hh

(6)lim(2 1 1)

x xx2

1 lim1 2 解 lim(2 1 1) 2 lim

x x xx xxx2x 1

(7)lim2

x 2x x 1

1 12

x 1 lim 1 解 lim2

x 2x x 1x

2 2xx

2

2x x

(8)lim

x x 3x 1

2x x 0

解 lim4(分子次数低于分母次数 极限为零)

x x 3x2 1

成考

1 1

x2 x lim23 0

或 lim4

x x 3x2 1x 1 xx

2x (9)lim 6x 8 x 4x 5x 4

2x 6x 8 lim(x 2)(x 4) limx 2 4 2 2 lim 解

x 4x2 5x 4x 4(x 1)(x 4)x 4x 14 13

(10)lim(1 12 1) 2x xx

1 lim(2 1) 1 2 2 解 lim(1 1)(2 1) lim(1

x xx2x xx x2

(11)lim(1 1 1 1)

n 242n

1 (1)n 1

解 lim(1 1 1 1) lim 2 n n 2421 2 (12)lim

1 2 3 (n 1)

n n(n 1)n1 2 3 (n 1) 1limn 1 1 解 lim limn n 2n n2nn(n 1)(n 2)(n 3)

(13)lim

n 5n(n 1)(n 2)(n 3)1

(分子与分母的次数相同 极限为 解 lim

n 55n3

最高次项系数之比)

(n 1)(n 2)(n 3)11)(1 2)(1 3) 1 lim(1 或 lim n 5n nnn55n (14)lim1 3)

x 11 x1 x

2(1 x)(x 2)

解 lim1 33 lim1 x x 32 lim

x 11 x1 xx 1(1 x)(x 1(1 x)(1 x x)1 x x2)

lix 2 1 x 11 x x

65页3 下列函数在指出的点处间断 说明这些间断点属于哪一类 如果

是可去间断点 则补充或改变函数的定义使它连续

x2 1y (1) x 1 x 2 x2 3x 2

成考

解 y

x2 1 (x 1)(x 1) 因为函数在x 2和x 1处无定义 所以x 2和x 3x 2(x 2)(x 1)

x 1是函数的间断点

2x

因为limy lim 1 所以x 2是函数的第二类间断点

x 2x 2x 3x 2 因为limy lim

x 1

(x 1)

2 所以x 1是函数的第一类间断点 并且是可去间

x 1(x 2)

断点 在x 1处 令y 2 则函数在x 1处成为连续的 (2)y x x k x k (k 0 1 2 )

tanx2

解 函数在点x k (k Z)和x k (k Z)处无定义 因而这些点都是函数

2

的间断点

因limx (k 0) 故x k (k 0)是第二类间断点

x k tanx 因为limx 1

x 0tanx

lim

x k

2

x 0(k Z) 所以x 0和x k (k Z) 是第一tanx2

类间断点且是可去间断点

令y|x 0 1 则函数在x 0处成为连续的

令x k 时 y 0 则函数在x k 处成为连续的

22

(3)y cos21 x 0

x

解 因为函数y cos21在x 0处无定义 所以x 0是函数y cos21的间断点

xx

又因为limcos21不存在 所以x 0是函数的第二类间断点

x 0x

x 1 x 1

(4)y x 1

3 x x 1

f(x) lim(x 1) 0limf(x) lim(3 x) 2 所以x 1是函数的第解 因为lim

x 1

x 1

x 1

x 1

一类不可去间断点

97页 2 求下列函数的导数

7 2 12 (1)y 4

xxx

(2) y 5x3 2x 3ex (3) y 2tan x sec x 1

成考

(4) y sin x cos x (5) y x2ln x (6) y 3excos x (7)y lnx

xx

(8)y e ln3

x

(9) y x2ln x cos x

(10)s 1 sint

1 cost

7 2 12) (4x 5 7x 4 2x 1 12) 解 (1)y (4

xxx

28 2 20x 6 28x 5 2x 2 20

x6x5x2

(2) y (5x3 2x 3ex) 15x2 2x ln2 3ex

(3) y (2tan x sec x 1) 2sec2x sec x tan x sec x(2sec x tan x) (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x) cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x (5) y (x2ln x) 2x ln x x2 1 x(2ln x 1)

x

(6) y (3excos x) 3ex cos x 3ex ( sin x) 3ex(cos x sin x)

1 x lnx

x 1 ln (7)y (lnx) 2

xxx2

xx2xex(x 2)ee x e 2x (8)y (2 ln3) xx4x3

(9) y (x2ln x cos x) 2x ln x cos x x2 1 cos x x2 ln x ( sin x)

x

2x ln x cos x x cos x x2 ln x sin x (10)s (1 sint

1 cost

cost(1 cost) (1 sint)( sint)1 sint cost

22

(1 cost)(1 cost)

11 求下列函数的导数 (1) y e x(x2 2x 3) (2) y sin2x sin(x2) (3)y x)2

2

(4)y lnnx

xt te e

(5)y

e e

成考

(6)y lncos1

x (7)

sin21

y e

(8)y x x

(9) y xarcsinx x2

2

(10)y arcsin2t2

1 t

解 (1) y e x(x2 2x 3) e x(2x 2) e x( x2 4x 5)

(2) y 2sin x cos x sin(x2) sin2x cos(x2) 2x sin2x sin(x2) 2x sin2x cos(x2) (3)y 2x 12 1 24x

22x 421 x4

1 xn lnx nxn 1

1 nlnx (4)y x2nxn 1

(et e t)(et e t) (et e t)(et e t)4e2t (5)y

(et e t)2(e2t 1)2

11 (6)y sec1 1 sec1 ( sin1 ( 1)

xxxxxx2x2 (7)

sin21

x ( sin2y e

1) e sin2x ( 2sin1 1 ( 1)

xxxx1

1

si212 2 si exx

(8)y

11 (x x) (1 1)

2x2x x2x x

x 1

4x x x

(9)y arcsinx x

2

1 1 ( 2x) arcsinx

2222x24 x 4

1

2 (1 t2) 2t (2t)12t1 (2) (10)y 22

1 t(1 t)2t2t (2)2 (2)2

1 t1 t

成考

22(1 t2)2(1 t2)1 t

22(1 t2)2|1 t2|(1 t2)(1 t)

103页 1 求函数的二阶导数

(1) y 2x2 ln x

(2) y e2x 1 (3) y xcos x (4) y e t sin t (5)y 2 x2 (6) y ln(1 x2) (7) y tan x (8)y 31 x 1

(9) y (1 x2)arctan x

xe (10)y x

(11)y xex

(12)y ln(x x2) 解 (1)y 4x 1 y 4 1

xx (2) y e2x 1 2 2e2x 1 y 2e2x 1 2 4e2x 1 (3) y xcos x y cos x xsin x

y sin x sin x xcos x 2sin x xcos x (4) y e tsin t e tcos t e t(cos t sin t)

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