2013年高考数学一轮复习 7.6 求数列的通项(一)课件 理

已知递推公式，求数列的通项公式.常见的有以下三种类型： 1.形如 an+1=can+d 的， 可转化为 an+1+r=c(an+r)的形式，

由待定系数法可得 r=________.

d c-1

2.形如 an-an-1=f(n)的， 可以用“叠加法”, 即 an-an-1=f(n), an-1-an-2=f(n-1), , a3-a2=f(3), a2-a1=f(2), a1+f(2)+f(3)+ +f(n) 所有等式两边分别相加，得 an=_____________________

an 3.形如已知 a1 且 =f(n)的，可以用“叠乘法”: an-1 an-1 a3 a2 an 即 =f(n), =f(n-1), ,a =f(3), a =f(2), an-1 an-2 2 1 an an-1 所有等式两边分别相乘，得 · · · an-1 an-2 a3a2 a1f(2)f(3) f(n-1)f(n) =f(n)f(n-1) f(3)f(2),即 an=__________________ a2a1

考点一 等差或等比利用基本量 示范1 设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项 和为 Sn, (1)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式； (2)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列的通项公式.

分析 利用基本量 a1,d 的整数特性.

解析 (1)由 S14=98, 2a1+13d=14, a11=a1+10d=0, 得 又 解得 d=-2,a1=20, 因此，{an}的通项公式 an=22-2n(n=1,2, ).

11 由①+②,得-7d<11,即 d>- 7 , 1 由①+③,得 13d≤-1,即 d≤-13, 从而 d=-1,代入①②,得 10<a1≤12, 又 a1∈Z,∴a1=11 或 a1=12, ∴an=12-n 或 an=13-n.

展示1 设等比数列{an}前 n 项和为 Sn,S4=1,S8=17,求 an.

【解析】设数列{an}的公比为 q, 由 S4=1,S8=17,必有 q≠1.

2n-1 -1 n·n-1 2 ∴通项公式 an= 15 或 an= . 5

方法点拨：对于等差(比)数列应用基本量，使用课本已经导 出的公式，轻松解题.方程组思想、不等式组思想.

考点二 叠加与叠乘 示范2 已知点列An(xn,0)(n∈N*),其中x1=0,x2=3,A3是 线段A1A2的中点，A4是线段A2A3中点 An是线段An-1An-2的中 点， (1)写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式(n≥3); (2)设an=xn+1-xn,求数列{an}的通项公式； (3)求数列{xn}的通项公式.

xn-1+xn-2 解析 (1)由题可知，xn= (n≥3) 2 (2)由2xn=xn-1+xn-2 有2(xn-xn-1)=-(xn-1-xn-2) ∴2an-1=-an-2 an-1 1 即 =- 2 an-2 又a1=x2-x1=3 1 n-1 ∴an=3(- ) 2

(3)由(2)知xn-xn-1=an-1 x2-x1=a1 等式两边分别相加得 xn=an-1+ +a1 1 - n 2 =3 -2 + +1 1 n-1 1- 2 1 n-1 =3× =2 1- -2 1 1+ 2

展示2 设数列{an}是首项为1的正项数列且(n+1)a 2+1 -na 2 n n +an+1an=0(n=1,2,3, ),求它的通项公式an.

【分析】把递推关系进行因式分解，化为(an+1+an)[(n+ 1)an+1-nan]=0即可.

【解析】

依题意，可得(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0. an+1 n ∵an+1+an>0,∴(n+1)an+1=nan.∴ a = . n+1 n a2 1 a3 2 an n-1 ∴a =2,a =3, , = n . an-1 1 2 以上n-1个式子左右两边相乘，得 1 an 1 a1=n.又a1=1,∴an=n.

考点三 由 an+1=kan+f(n)求通项 示范3 由下列数列{an}的递推公式求其通项公式： (1)a1=1,an+1=an+n; (2)a1=1,an+1=2an+1; (3)a1=1,an+1=3an+2n+1; an (4)a1=1,an+1= . 2an+1

分析 转化为一个是等比(或等差)的新数列，是求解的关键.