沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第六章§7.子空间的

一、直和(direct sum )的定义 二、直和的判定

三、多个子空间的直和

引入设 V 1 , V 2 为线性空间V的两个子空间，由维数公式d im V 1 d im V 2 d im (V 1 V 2 ) d im (V 1 V 2 )

有两种情形：1 ) d im (V 1 V 2 ) d im V 1 d im V 2

此时

d im (V 1 V 2 ) 0 ,

即，V 1 V 2 必含非零向量.§7 子空间的直和

2 ) d im (V 1 V 2 ) d im V 1 d im V 2

此时

d im (V 1 V 2 ) 0 ,

V 1 V 2 不含非零向量，即

V 1 V 2 0

情形2)是子空间的和的一种特殊情况直和

§7 子空间的直和

一、直和的定义设 V 1 , V 2为线性空间V的两个子空间，若和 V 1 中每个向量 的分解式 1 2, 1 V1 , 2 V V 2 就称为直和，记作 V 1 V 2 . V2

是唯一的，和 V 1

注: ① 分解式若有 则 1

1 2

唯一的，意即

1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V 2 1 , 2 2 .

§7 子空间的直和

② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间V 1 L ( 1 , 2 ), V 2 L ( 2 , 3 ), V 3 L ( 3 )

这里， 1

(1, 0 , 0 ), 2 ( 0 , 1, 0 ), 3 ( 0 , 0 , 1 )

在和 V 1

V2

中，向量的分解式不唯一，如

( 2 , 2 , 2 ) ( 2 , 3 , 0 ) ( 0 , 1, 2 ) ( 2 , 1, 0 ) ( 0 , 1, 2 )

所以和

V 1 V 2不是直和.

§7 子空间的直和

而在和 V 1

V 3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，

(2, 2, 2) (2, 2, 0) (0, 0, 2)

事实上，对

(a1 , a 2 , a 3 ) V1 V 3 , ( a 1 , a 2 , 0 ) ( 0 , 0 , a 3 ).

都只有唯一分解式：

故 V1

V 3 是直和.

§7 子空间的直和

二、直和的判定1、(定理8) 和 V 1 V 2 是直和的充要条件是零向量 2 0 , 1 V1 , 2 V 2

分解式唯一，即若 1 则必有 1 2 0.

证：必要性.

V1 V 2

是直和,

V1 V 2 ,

的分解式唯一.

若 1 2 0 , 1 V1 , 2 V 2

而0有分解式§7 子空间的直和

0= 0 0,

1 0, 2 0.

充分性. 设

V1 V 2

,它有两个分解式

1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V 2

于是 ( 1 其中 1

1 ) ( 2 2 ) 0

1 V1 , 2 2 V 2

由零向量分解成唯一，且 有 1 即 1 故 1 0, 2 2 0. 1, 2 2

0= 0 0,

的分解式唯一.

V1 V 2

是直和.

§7 子空间的直和

2、和 V 1 证：“ 则有 1

V 2 是直和 V 1 V 2 0 .

”

若 1

2 0 , 1 V1 , 2 V 2 .

2 V1 V 2

0 是直和.

1 2 0,

即V 1

V2

“

” V2

任取

V1 V 2 ,

于是零向量可表成

0 ( ), V 1 , V 2 .

由于 V 1

是直和，零向量分解式唯一，故 V1 V 2

0.§7 子空间的直和

0 .

3、和 V 1

V 2 是直和

d im (V 1 V 2 ) d im V 1 d im V 2

证：由维数公式d im V 1 d im V 2 d im (V 1 V 2 ) d im (V 1 V 2 )

有，

d im (V 1 V 2 ) d im V 1 d im V 2 d im (V 1 V 2 ) 0

V 1 V 2 0 V1 V 2

是直和. (由2、得之)

§7 子空间的直和

总之，设

V 1 , V 2为线性空间V

的子空间，则下面

四个条件等价:1) V 1 3) V 2 是直和

2)零向量分解式唯一V 1 V 2 0 V 2 ) d im V 1 d im V 2

4)d im (V 1

4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W,使V U W .

称这样的W为U的一个余子空间.§7 子空间的直和

证：取U的一组基 1 , 2 , , m 把它扩充为V的一组基 1 , 2 , , m , m 1 , , n令 W L ( m 1 , m 2 , , n ),

则

V U W .

注意： 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设 1 (1, 1, 0 ), 2 (1, 0 , 0 ), 1 ( 0 , 1, 1 ), 2 ( 0 , 0 , 1 )令 U L ( 1 , 2 ), W 1 L ( 1 ), W 2 L ( 2 ),

则

R

3

U W1 U W2,

但

W1 W

2

§7 子空间的直和

三、推广1、定义V 1 ,V 2 , ,V s

多个子空间的直和都是线性空间V 的子空间，若和 中每个向量 的分解式

Vii 1

s

V1 V 2 V s

1 2 s , i V i , i 1, 2 , , s

是唯一的，则和 V i 就称为直和，记作i 1

s

V1 V 2 V s§7 子空间的直和

2、判定设 V 1 , V 2 , , V s 都是线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:s

1)W

V i 是直和i 1

2)零向量分解式唯一，即 1 2 s 0 , i V i , 必 有 i 0 , i 1, 2 , , s

3) V i

V j 0 , i 1, 2 , , sj i

4)d im W

d im V ii 1

s

§7 子空间的直和

证 1) 2 ) 结论容易证明.2 ) 3 ) 任取 V i

Vj i

j

, 则可设

i

1 i 1 i 1 s , i V i , i 1, 2, , s , 1 i 1 ( i ) i 1 s 0, i V i . i 0.

3 ) 2 ) 设 1 i 1 i i 1 s 0, i V i ,

则 1 i 1 i 1 s i

V i i 0.§7 子空间的直和

Vj i

j

,

3 ) 4 ) 对s 作归纳.s=2时,由维数公式得到d im (V 1 V 2 ) d im V 1 d im V 2 d im (V 1 V 2 ) d im V 1 d im V 2 .

假设s -1时成立 ( s

3 ).下证

s 时也成立.

d im (V 1 V 2 V s ) d im V s d im (V 1 V 2 V s 1 ) d im [V s (V 1 V 2 V s 1 )]

d im V s d im (V 1 V 2 V s 1 ),

而 i

Z , 1 i s 1,

都有

§7 子空间的直和