2.4连续型随机变量及其概率密度函数

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第四节

连续型随机变量及其概率密度

一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负 函数 f(x),使得对于任意实数 x 有:F (x)

x

f ( t ) dt

( P ( X x ))

则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数 注: ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别 离散型： P ( X x k ) 0 连续型：P ( X x k ) 02012-10-24

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[证]: 证法1

X

xk

1 X xk X xk n n 1 让 “交” 往 x方 k 向 “挤”

0

xk

xk

1 n

P ( X x k ) lim P ( X x k n

1 n

) P ( X xk )

lim

n

x

1 n

f ( x )d x

x

f ( x )d x

x

f ( x )d x

x

f ( x )d x 0

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证法2

任取 x 0 ( , ), 并给 x 0以增量 x 0 P ( X x0 ) P ( x0 X x0 x )

F ( x0 x ) F ( x0 )

x0 x x0

f ( x )d x

当 x 0 时， 两边取极限：0 P ( X x 0 ) limx0 x x0 x 0

f ( x ) dx 0

P ( X x0 ) 0

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这个结论的意义:1. P ( X x 0 ) 0 从积分的几何意义上说，当底边缩 为一点时,曲边梯形面积退化为零. 2.由此可知连续型随机量X在某区间上取值的概率只 与区间长度有关,而与区间是闭,开,半开半闭无关, 即有:P ( x1 X x 2 ) P ( x1 X x 2 ) P ( x1 X x 2 ) P ( x1 X x 2 )

x2 x1

f ( x ) dx F ( x 2 ) F ( x 1 )

▲ P ( ) 0 (不可能的事件的概率为0),但概率 为零的事不一定是不可能事件.2012-10-24

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2. 概率密度函数的性质 性质1 性质2f ( x) 0

f ( x )dx 1

这两条性质是判定 一个函数 f(x)是否为某 随机变量X 的概率密度 函数的充要条件.

f (x) 面积为1

o2012-10-24

x

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性质3P ( x1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 )

x2 x1

f ( x )d x( x1 , x 2 ]

几何 X 落在区间 ( x 1 , x 2 ] 的概率等于区间 意义: 上曲线 f ( x ) 之下的曲边梯形的面积f (x)

0

x1

x2

x

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性质4 若 f ( x ) 在点 x 处连续，则有：F ( x ) f ( x ) 物理 意义:f ( x ) lim x 0

F ( x x) F ( x) xP ( x X x x) x

lim x 0

故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x , x x ] 上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线密度，故称 f (x)为概率密度函

数。2012-10-24

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注： P ( x X x x ) F ( x x ) F ( x )不计高阶 无穷小

x x

f ( x )d xx

f ( x ) x

(相当于积分中值定理

b a

f ( x ) dx f ( x )( b a ) )

这表示落在区间 ( x , x x ]上的概率近似等 于 f ( x ) x ,称 f ( x ) x 为概率微分。 f ( x ) 的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以 f ( x ) 的确描述了连续型随机变量的概率分布 的情况。2012-10-24

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但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度， 并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大， 则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点 附近的程度.

f (x)

of ( x ) x 在连续型

x

随机型变量理论中所 的作用与P ( X xk ) pk

在离散型随机变量理 论中所起的作用相类 似2012-10-24

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例1. 证明：函数 f ( x )

1 2

e

x

( x )

是一个连续型随机变量的概率密度函数.

证明：(1). 显然, f ( x ) 0(2).

( x )

f ( x )d x

1 2

1 2

ex

x

dx

一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即 可.2012-10-24

0

e dx 1

1 2

e0

x

dx

1 2

1 2

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例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小时)是一个连续型随机变量,其密度函数为: x e 100 f (x) 0 当x 0 当x 0

求: (1). 的值 . (2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小

时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.

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解: (1) 1

f ( x )d x x 100

0

e

x 100

dx

100 e

0

100

(2)

1

100 P (50 X 150) x

150 50

1 100x 100

x 100

e

dx

(1) 的值 . (2) 50 到 150 小时 2012-10-24 (3) 少于100小时 概率统计

e 100 f (x) 0

当x 0 当x 0

e

150 50

0 . 384北邮概率统计课件

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(3)

P ( X 100)

100 0

1 100

x 100

e

dx

1 e 0 .6 3 3

一般称:

若 X 具有概率密度: 1 x e f ( x ) 0 x 0 x 0

0

则 称 X 为服从参数 的 指数分布.

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二 . 连续型随机变量的分布函数 定义: 若定义在 ( , ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0( 2 ).

f ( x )d x 1x

则称 F ( x )

f ( x )d x

为连续型随机变量的分布函数

f (x)确定了 分

布函数F(x), f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一 个原函数

注: 可以验证 F(x) 具备了分布函数的性质: F(x)是不减的函数；0 F(x) 1 , F(x)是 右连续 …… 此处隐藏：1739字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……