【教育专用】2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3

【教育专用】2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1_1

教育学习+K12

教育学习+K12 2.3.1 抛物线及其标准方程

学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)

[自主预习·探新知]

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？

[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．

2．抛物线的标准方程

(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？

[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．

(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．()

(2)抛物线是双曲线的一支．( )

(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标

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教育学习+K12 轴上．”

( ) [答案] (1)× (2)× (3)√

2．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )

A ．(2,0)

B ．(－2,0)

C ．(4,0)

D ．(－4,0) B [抛物线y 2＝－8x 的焦点在x 轴的负半轴上，且p 2

＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．] 3．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8 C [由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4.]

4．抛物线x ＝4y 2

的准线方程是( )

【导学号：97792096】

A ．y ＝12

B ．y ＝－1

C ．x ＝－116

D ．x ＝18 C [由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116

.] [合 作 探 究·攻 重 难]

(1)准线方程为y ＝23

； (2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5；

(3)经过点(－3，－1)；

(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．

[思路探究] (1)(2)由题意可确定方程形式→求出p →写出抛物线的标准方程

(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数 →写出抛物线的标准方程

(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程

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教育学习+K12 [解] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43

，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83

y . (2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .

(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．

若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16

； 若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92

. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13

x 或x 2＝－9y . (4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．

当焦点为(0，－3)时，p 2

＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p 2

＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2

＝16x . ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . ．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题

把握开口方向与方程间的对应关系．

当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．

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教育学习+K12 (1)关于y 轴对称且过点(－1，－3)；

(2)过点(4，－8)；

(3)焦点在x －2y －4＝0上．

[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x 2

＝－2py (p ＞0)，将点(－1，－3)代入方程，

得(－1)2＝－2p ·(－3)，解得p ＝16，所以所求抛物线方程为x 2＝－13

y . 法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)．又抛物

线过点(－1，－3)，所以1＝m ·(－3)，即m ＝－13，所以所求抛物线方程为x 2＝－13

y . (2)法一：设所求抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p ′y (p ′＞0)，将点(4，－8)代入y 2＝2px ，得p ＝8；将点(4，－8)代入x 2＝－2p ′y ，得p ′＝1.所以所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .

法二：当焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为y 2＝nx (n ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n ，即n ＝16，抛物线的方程为y 2＝16x ；

当焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m ，即m ＝－2，抛物线的方程为x 2＝－2y .

综上，抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .

(3)由?

???? x ＝0，x －2y －4＝0，得????? x ＝0，y ＝－2， 由????? y ＝0，x －2y －4＝0，得????? y ＝0，x ＝4.

所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．

当焦点为(0，－2)时，由p 2

＝2，得p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4,0)时，由p 2

＝4，得p ＝8，所以所求抛物线方程为y 2

＝16x . 综上所述，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .

的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．

(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标.

【导学号：97792097】

(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的

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教育学习+K12 轨迹方程．

[思路探究] (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m 和准线方程．

(2)利用抛物线的定义，把|PF |转化为到准线的距离．

(3)利用|MC |的长度比点M 到直线y ＝2的距离大1求解．

[解] (1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p 2

＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±2 6.

(2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，

则|PA |＋|PF |

＝|PA |＋|PN |≥|AB |，

当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取 …… 此处隐藏：4372字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……