(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习_第16讲_二次函数

第16讲┃二次函数的应用

第16讲┃ 考点聚焦

考点聚焦考点1 二次函数的应用

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这 就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题， 应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方 案等问题.

第16讲┃ 考点聚焦

考点2

建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题

建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相 转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆 等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键.

第16讲┃ 归类示例

归类示例 类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题

命题角度： 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳 水等抛物线形问题； 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题.

第16讲┃ 归类示例

如图 16-1,排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m) 与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9 m,高度为 2.43 m,球场的边界距 O 点的水平 距离为 18 m. (1)当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的 取值范围); (2)当 h=2.6 时， 球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围.

图 16-1

第16讲┃ 归类示例

[解析] (1)利用h=2.6,将 (0,2)代入解析式求出即可； 1 (2)利用当 x=9时， y=- (x- 6)2+2.6=2.45,当y=0时， 60 1 - (x-6)2+ 2.6= 0,分别得出即可； 60 (3)根据当球正好过点 (18,0)时， y=a(x-6)2+h的图象还过 (0,2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点 (9,2.43), y= a(x- 6)2+ h的图象还过点 (0,2)分别得出h的取值范围，即可 得出答案.

第16讲┃ 归类示例解： (1)∵ h= 2.6,球从 O点正上方 2 m的 A处发出， ∴ y= a(x- 6)2+ h过点(0, 2), 1 2 ∴ 2= a(0- 6) + 2.6,解得： a=- , 60 1 故 y与 x的关系式为： y=- (x- 6)2+ 2.6. 60 1 (2)当 x= 9时， y=- (9- 6)2+ 2.6= 2.45> 2.43, 60 所以球能过球网； 1 当 y= 0时，- (x- 6)2+ 2.6= 0, 60 解得 x1= 6+ 2 39> 18, x2= 6- 2 39(舍去). 故球会出界.

第16讲┃ 归类示例

(3)当球正好过点 (18,0)时，y=a(x- 6)2+h还过点(0, 2)点， 1 2= 36a+ h, a=-54, 代入解析式得： 解得： 0= 144a+ h, h=8, 3 1 2 8 此时二次函数解析式为： y=- (x- 6) + , 54 3 8 此时球若不出边界则 h≥ . 3

第16讲┃ 归类示例

当球刚能过网，此时函数图象过点 (9, 2.43), y= a(x- 6)2 + h的

图象还过点(0, 2),将两点坐标代入解析式得： 43 2 a=-2700, 2.43= a( 9- 6) + h, 解得 2 2= a( 0- 6) + h, h=193, 75 193 8 193 8 此时球要过网则 h≥ .∵ > ,∴ h≥ , 75 3 75 3 故若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围是： 8 h≥ . 3

第16讲┃ 归类示例 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用

命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用.利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息：

图 16-2

第16讲┃ 归类示例

请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品 500件和乙商品 300件.经 调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1元，这两种 商品每天可各多销售 100件.为了使每天获取更大的利润， 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降 m元.在不考 虑其他因素的条件下，当 m定为多少时，才能使商店每天销 售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多 少？

第16讲┃ 归类示例

[解析] (1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和 是5元；按零售价买甲商品 3件和乙商品2件，共付了 19元. (2)利润=(售价-进价)×件数.

解： (1)设甲商品的进货单价是 x元，乙商品的进货单价 是 y元. x+ y= 5, 根据题意，得 3( x+ 1)+ 2( 2y- 1)= 19, x= 2, 解得 y= 3

答：甲商品的进货单价是 2元，乙商品的进货单价是 3元 .

第16讲┃ 归类示例

(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则 m m s= (1- m) 500+ 100× + (5-3- m) 300+ 100× 0.1 0.1 即 s=- 2000m2+ 2200m+ 1100 =- 2000(m- 0.55)2+ 1705. ∴当 m= 0.55时， s有最大值，最大值为1705. 答：当 m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商 品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.

第16讲┃ 归类示例

二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数表达式， 然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值 解决利润最大问题.

第16讲┃ 归类示例

类型之三

二次函数在几何图形中的应用

命题角度： 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉 及最大面积，最小距离等； 2. 在写函数表达式时，要注意自变量的取值范围.

第16讲┃ 归类示例

如图 16-3, 在边长为 24 cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿 图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、 D 四个顶点正好重合于上底面

上一点).已知 E、F 在 AB 边 上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x cm. (1)若折成的包装盒恰好是个正方体， 试求这个包装盒的 体积 V;