无穷级数的定义,性质和及敛散性判别

无穷级数的有关知识

第十一章 无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。

无穷级数的有关知识

重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；

难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和；

基本要求①掌握级数敛散性概念和性质②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法

③掌握交错级数的Leibniz审敛法

无穷级数的有关知识

④掌握绝对收敛和条件收敛概念 ⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛 区间，会求简单的幂级数的和函数 ⑥熟记五个基本初等函数的 Taylor 其收敛半径 级数展开式及

⑦掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形 式的Fourier 系数 ⑧掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数

无穷级数的有关知识

一、问题的提出1. 计算圆的面积正六边形的面积 a1

R

正十二边形的面积 a1 a2n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an

即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10

无穷级数的有关知识

二、级数的概念1. 级数的定义:

一般项 (常数项)无穷级数

un u1 u2 u3 un n 1级数的部分和

sn u1 u2 un uii 1

n

部分和数列 s1 u1 , s2 u1 u2 ,

s3 u1 u2 u3 , ,

sn u1 u2 un ,

无穷级数的有关知识

2. 级数的收敛与发散:

当n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和n 1

s , 即 lim sn s 则称无穷级数 数列 sn 有极限n

s u 收敛 , 这时极限 叫做级数 un 的和. 并 nn 1 n 1

写成 s u1 u2 u3

如果sn 没有极限, 则称无穷级数 un 发散.

n 1

无穷级数的有关知识

即 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)n

余项 rn s sn un 1 un 2 即

sn s

误差为 rn ( lim rn 0)n

un i i 1

无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”.

无穷级数的有关知识

观察雪花分形过程

设三角形 周长为 P1 3, 3 面积为 A1 ; 4 第一次分叉：4 周长为 P

2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9

依次类推

无穷级数的有关知识

第 n 次分叉： 周长为 Pn ( 4 )n 1 P1 n 1,2, 3 面积为 n 2 1 n 1 An An 1 3{4 [( ) A1 ]} 9 1 1 2 1 n 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9

n 2,3,

无穷级数的有关知识

于是有1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限(收敛).n

lim Pn

结论：雪花的周长是无界的，而面积有界.

无穷级数的有关知识

例 1 讨论等比级数(几何级数)n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0

的收敛性.

解

如果q 1时sn a aq aq 2 aq n 1

a aq n a aqn , 1 q 1 q 1 q n a lim q 0 当q 1时, lim sn n n

1 q n sn 发散 lim q lim 当q 1时, n n

收敛

无穷级数的有关知识

如果 q 1时当q 1时,sn na

发散

当q 1时, 级数变为a a a a lim sn不存在n

发散

当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散 n

例2

判别无穷级数

1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)

无穷级数的有关知识

1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2

1 级数收敛, 和为 . 2

无穷级数的有关知识

三、基本性质性质 1 如果级数

un 1

n 收敛, 则

kun 亦收敛. n 1

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.

性质 2 设两收敛级数 s

un , v n , n 1 n 1

则级数

结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

( un v n ) 收敛, 其和为 s . n 1

无穷级数的有关知识

性质 3

若级数

un 1

n

收敛,则

n k 1

u

n 也收敛

( k 1) .且其逆亦真.证明

uk 1 uk 2 uk n n uk 1 uk 2 uk n sn k sk , 则 lim n lim sn k lim skn n n

类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.

无穷级数的有关知识

性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. (u1 u2 ) (u3 u4 u5 ) 证明 1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,

, m sn ,

则 lim lim s s . m n m n

注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.例如 (1 1) (1 1) 收敛

1 1 1 1

发散