高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有本文中以下几种。

高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩 例1.(1)、求

k 1n

24k2 1

的值; (2)、求证:

15 . 2

3k 1k

n

n

211212n

解析:(1)、因为,所以 1 22

2n 12n 12n 12n 12n 12n 14n 1k 14k 1

2

(2)、因为

1 2n

1n2

14

1 1

2 ，所以 2

4n 1 2n 12n 1

4

111 225 11

1 2 1 2

352n 12n 132n 15k k 1

n

奇巧积累： (1)、

1 n2

1n2

14

1 1

2

2n 12n 14n2 1 4

(2)、

1211

12

nn 1nn 1Cn 1Cnn 1nn 1r

(3)、Tr 1 Cn

1n!11111

r 2 rr

r!n r!r!rr 1r 1rnn

111 1

(4)、 1 1 1 2 13 2nn 1 n

n

(5)、

111

2k2k 12k 12k

(6)、

1n 2

22n 2

2

2n n 2

22n

n 2 n ; 1n

22n

2n 1 n

2n 1 n

n n 1

2n n 1

1 111 2 (7)、 n n 1n

2n 12n 322n 1 22n 3 2

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有本文中以下几种。

(8)、

111 111 11

;

kn 1 k n 1 kk n 1nn 1 k1 k nn 1 k

(9)、

n11

n 1!n!n 1!

(10).

1n

2

2n 1 2n 1

222n 1 2n 1

n

211 n 22

(11)、

2k

2

k

1

2

2k2k

k k kk

2 12 12 12 2

2k 111

k 2 k

k 1k 1k

2 12 12 12 1

(12)、

1n

3

111 nn 1n 1 nn 1nn 1 n 1 n 1

1

1n 1

1n 1

11 n 1 n 1

n 1 2n n 1

(13)、2

k 1

12k

2 2 3 1 2 3 32 1 2 k

2 13

k

k

k

k

(14)、

k 211

k! k 1! k 2!k 1!k 2!

1nn 1 n n 1 n 2

(15)、

i2 1 j2 1i2 j2

(16)、

i j i j i2 1

j 1

2

i

i j

2

1 j 1

2

1

例2.(1)、求证:1 (2)、求证:

11171

n 2 ； 222

352n 1622n 1111111

； 2

4163624n4n11 31 3 51 3 5 2n 1 (3)、求证: 2n 1 1； 22 42 4 62 4 6 2n

(4)、求证：2n 1 1 1

12

13

1n

2

2n 1 1；

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有本文中以下几种。

解析:(1)、因为

n

111 11

,所以 2

2n 12n 1 2n 12 2n 12n 1

i 1

1

2i 12

1 11 1 11 1 1

2 32n 1 2 32n 1

1 1

1 1

n 4

(2)、

11111 11

2 1 2 2416364 24nn

(3)、先运用分式放缩法证明出

1n 21n

22n 2

1 3 2n 1

2 4 2n2n n 2

2n 1 n

12n 1

,

再结合 n 2 n进行裂项,最后就可以得到答案.

(4)、首先 2n 1 n

12

11n

所以容易经过裂项得到2n 1 1 1

1n

2

再证 2

2n 1 2n 1

222n 1 2n 1

n

11 n 22

而由均值不等式

知道这是显然成立的，所以1

12

13

1n

2

2n 1 1.

例3.求证:

6n1115

1 2 .

n 12n 1493n

解析: 一方面, 因为

1

2n

1n2

14

1 1

2 .所以 2

4n 1 2n 12n 1

4

111 225 11

1 2 1 2

2n 12n 1 32n 15 35k 1k

n

111111

2 1 492 33 4nn 1n

另一方面：

1n 1

n 1n 1

1

当n 1时,

6n111

1 2,

n 12n 149n6n111

1 2,

n 12n 149n

当n 2时,

证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有本文中以下几种。

当n 3时,

n6n

, n 1n 1 2n 1

所以综上有：

6n1115

1 2 .

n 12n 1493n

例4.(2008年全国一卷)设函数f x x xlnx.数列 an 满足：0 a1 1，ak 1 f ak . 设b a1,1 ，整数k

a1 b

. 证明:ak 1 b. a1lnb

解析: 由数学归纳法可以证明 an 是递增数列,

故若存在正整数m k, 使am b, 则ak 1 ak b. 若am b m k , 则由0 a1 am b 1知:

amlnam a1lnam a1lna1 a1lnb 0, ak 1 ak aklnak a1 amlnam

m 1k

因为 amlnam k a1lnb , 于是ak 1 a1 ka1lnb a1 b1 a1 b.

m 1

k

例5.已知n,m N*,x 1,Sm 1m 2m 3m nm,求证:nm 1 m 1 Sn n 1 解析: …… 此处隐藏：13268字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……