投资学 因子模型和套利定价理论

投资学 第八讲因子模型和套利定价理论

组合选择理论的一个缺陷马科维茨的Portfolio Selection理论 说明了如何在给定风险水平下获得最大的 资产组合收益。但是在有效边界的确立上， 需要做大量的变量估计，对计算能力的要 求非常高。

假定分析人员需要分析n种股票，则按照均值 -方差模型的要求需要估计：– n个期望收益 – n个方差 – (n2-n)/2个协方差 – 若n=50,总共为1325个 若n=100,总共为 5150个 若n=3000,总共要估计超过450万个变量

8.1

因子模型 (Factor model)

定义：因子模型是假设资产的收益是由 某个收益生成过程所决定的(而不是根 据Markowitz方法),而这个生成过程 则可以通过某个收益率统计公式线性地 表述出来。 依据因子的数量，可以分为单因子模型 和多因子模型。

8.1.1 单因子模型若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观 经济指数。 – 假设： – (1)证券的回报率主要取决于该指数的变化； – (2)除此以外的因素是公司特有风险：残余风险

– 例如，GDP增长率是影响证券回报率的主要因素。

因子模型回归年份 IGDPt(%) 股票A收益率(%)

12 3

5.76.4 8.9

14.319.2 23.4

45 6

8.05.1 2.9

15.69.2 13.0

rtr6 13.0% e6 3.2%

4%I GDP6 2.9%

I GDPt

图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示 股票A的回报率。图上的每一点表示：在 给定的年份，股票A的回报率与GDP增长 率。 通过线性回归，我们得到一条符合这些点 的直线为

rt 4% 2 I GDPt et

通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的 一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列

rit ai bi ft eit其中：

(8.1)

– rit在时期 t 证券 i 的回报 – ai零因子 – ft是t 时期公共因子的取值 – bi证券i对公共因子f的敏感度(sensitivity),或因 子载荷(factor loading) – eit在时期t证券i的特有回报

如果只考虑在某个特定的时间的因子模型， 可以省掉角标t,从而(8.1)式变为

ri ai bi f ei并且假设

(8.2)

(1) cov(ei , f ) 0E[ei ] 0

(2) cov(ei , e j ) 0

假设(1):因子f具体取什么值对e没有影响， 即因子f与e是独立的，这样保证了因子f是 回报率的惟一因素。 假设(2):一种证券的e对其余任何证券的e 没有影响，两种证券之所以相关，仅是由于 它们具有共同因子f所致。 如果上述假设不成立，则单因子模型不准确， 应该考虑增加因子或者其他措施。

对于证券i,由(8.2)其回报率的均值(期望值)为

ri ai bi f其回报率的方差因子风险

(8.3)

非因子风险2 2 f 2 ei

bi 2 i

对于证券i和j而言，它们之间的协方差为

ij cov(ri , rj ) cov(ai bi f ei , a j b j f e j ) bi b j 2 f

用因子模型简化组合选择过程

单因子模型：n个期望收益，n个bi,n个 2 残差 ei ,一个因子f方差 2 ,共3n+1 f 个估计值 若n=50,之前1325个，现在151 若n=100,之前 5150个，现在301 若n=3000,之前450万+ ,现在9001

一个特殊的因子模型 证券收益可以用预期到的收益和未预期到 的收益两个部分来解释，构成了

ri ri bi f ei包含已知信息的预期回报

E(ri t 1 ) ri未预期到的因子变化

f是证券i的因子变化，它是不可预测的。

E( ft t 1 ) 0

若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时 刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法 预测t时刻的因子，即对于因子的变化没 有任何倾向——公平赌局(Fair game) 价格(收益)的不可预测，本质上是信息 的不可预测。

8.1.2 多因子模型单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将 资产收益简单地认为仅与一个因子相关。 因而难以把握公司对不同的宏观经济因素 的反应。– 例：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不 敏感，后者对利率不敏感。