2013高考数学二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教学案(

2013高考数学二轮复习精品资料专题04 三角函数和解三角形教

学案（学生版）

【2013考纲解读】

1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.

, 的正弦、余弦、正切的诱导公式;2

sinx22

理解同角的三角函数的基本关系式:sinx+cosx=1, tanx.

cosx

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出

3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2 ]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-

,)内的单调性. 22

4.了解函数y Asin( x )的物理意义；能画出y Asin( x )的图象，了解

A, , 对函数图象变化的影响.

5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.

6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换 【知识网络构建】

【重点知识整合】

一、三角恒等变换与三角函数

1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:

(1)方程思想:sin cos , sin cos ,sin cos 三者中,知一可求二; (2)“1”的替换: sin cos 1; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；

(4)角的替换:2 ( ) ( ), ( ) (5)公式变形:cos2

2

2

2

2

;

1 cos2 1 cos2

, sin2 , 22

tan tan tan( )(1 tan tan );

(6)构造辅助角(以特殊角为主

):

b

asin bcos )(tan

).

a

二、解三角形

1．正弦定理

已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则＝＝2R(R为

sinAsinBsinC三角形外接圆的半径)．

2．余弦定理

已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a＝b＋c－2bccosA，cosA

2

2

2

abc

b2＋c2－a2＝，另外两个同样．

2bc

3．面积公式

已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则

1

(1)

2

111abc

(2)S＝sinCsinA＝acsinB＝(其中R为该三角形外接圆的半径)；

2224R1

(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝a＋b＋c)r；

2(4)若p＝

a＋b＋c

2

Spp－ap－bp－c.

【高频考点突破】

【变式探究】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝

( )

4D.5

433

A．－ B

555

【方法技巧】1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；

2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件.

考点二 三角函数的性质 三角函数的单调区间：

y＝sinx的递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递减区间是[2kπ＋，2kπ＋

3π

k∈Z)； 2

π2π2π2

y＝cosx的递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，

递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；

y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．

π2π2

例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，3cosx)，函数f(x)＝a·b＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标； π

(2)当0≤xf(x)的值域．

2

32

π

【变式探究】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R

6π

恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是

2

( )

πππ

A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)

362π2ππ

C．[kπ＋，kπ＋k∈Z) D．[kπ－，kπ](

k∈Z)

632

考点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像： (1)“五点法”作图：

π3π

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，2π，求出x的值与相应的

22

y的值，描点、连线可得．

(2)图像变换：

向左φ>0或向右φ<0y＝sinx

―――――――――→平移|φ|个单位

y＝sin(x＋φ)

y＝sin(ωx＋φ)

纵坐标变为原来的AA>0倍

――――――――――→

横坐标不变

y＝Asin(ωx＋φ)．

π

例3、已知函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像经过点(0,1)，

2

如图所示．

(1)求f1(x)的表达式；

π

(2)将函数f1(x)的图像向右平移个单位长度得到函数f2(x)的图像，求y＝f1(x)＋

4

f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．

π

【变式探究】已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图像如

2π

图，则f()＝

24

( )

3

3

D．2

－3

A．23 3 C.

考点四 三角变换及求值 三角函数求值有以下类型：

(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变 换求三角函数式的值；

(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的 其他三角函数式的值；

(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角． 1π

例1、已知函数f(x)＝2sin(x，x∈R.

36

(1)求f(0)的值；

ππ106

(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋＝，f(3β＋2π)＝.

22135求sin(α＋β)的值．

【变式探究】已知：cos(2α－β)＝－α＋β的值为________．

考点五 正、余弦定理的应用

1143ππ

，sin(α－2β)，0<β<<α<，则14742

【变式探究】△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5， 则△ABC的面积为________．

考点 六 解三角形与实际应用问题

在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的

方位角等问题，都可通过解三角形解决．

例6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【难点探究】

难点一 简单的三角恒等变换

πππ1πβ3

例1 、(1)若0<α<<β<0，cos（＋αcos，则cos

2243423β

（α＋）＝( )

2

A.

33536．－ D 3399

1cos2α π(2)已知sinα＝＋cosα，且α∈ 0，，则的值为________．

2 2π sin α－ 4 【点评】 在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，π π 把2α变换成2 α ，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－

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