高考数学“放缩法”精选精讲

放缩

个性化教学辅导教案—高考数学“放缩法”精选精讲

放缩

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若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量， 3、先放缩，后裂项(或先裂项再放缩) 例 3、已知 an=n ,求证： ∑ 证明：∑n n

k=1

k a2 kn k=2

<3.

k a2 k

k=1

=∑

n

1 k3

k=1

<1+ ∑

1 (k-1)k(k+1) =1 k 2 n

<1+∑

n

2 (k-1)(k+1) ( ( 1 (k-1) - k+1 + k-1 ) )2 <3. 2

k=2

k 1 k 1 (k 1)(k 1)

=1+ ∑

n

k=2

1 (k+1)

=1+1+

1 2 1 - - (n+1) 2 n

<2+

本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标. 4、放大或缩小“因式”; 例 4、已知数列 {an } 满足 an 1 an , 0 a1 2n 1 1 , 求证： (ak ak 1 )ak 2 . 32 2 k 1

证明 0 a1 n

1 1 1 1 2 , an 1 an , a2 a12 , a3 . 当k 1时, 0 ak 2 a3 , 2 4 16 161 n 1 1 (ak ak 1 ) 16 (a1 an 1 ) 32 . 16 k 1

(ak ak 1 )ak 2 k 1

本题通过对因式 ak 2 放大，而得到一个容易求和的式子

(ak 1

n

k

ak 1 ) ,最终得出证明.

5、逐项放大或缩小

n(n 1) (n 1

) 2 an 例 5、设 an 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 求证： 2 2 1 2n 1 2 n(n 1) (n ) 2 证明：∵ n( n 1) n n 2 2 2n 1 ∴ n n(n 1) 2 n(n 1) (n 1) 2 1 3 (2n 1) an ∴ 1 2 3 n an , ∴ 2 2 2 2n 1 本题利用 n n(n 1) ,对 an 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简 2的目的。深圳 林老师 上门家教 高中数学精品培训 136-3264-3505

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6、固定一部分项，放缩另外的项； 例 6、求证： 证明：

1 1 1 1 7 2 2 2 2 1 2 3 n 4

1 1 1 1 2 n n(n 1) n 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 7 2 2 2 1 2 ( ) ( ) . 2 1 2 3 n 2 2 3 n 1 n 4 2 n 4

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分 别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩 例 7、已知 a n 5n 4 ,证明：不等式 5a mn a m a n 1 对任何正整数 m, 都成立. n 证明：要证 5a mn a m a n 1 ,只要证 5a mn 1 a m a n 2 a m a n . 因为 a mn 5mn 4 , a m a n (5m 4)(5n 4) 25mn 20(m n) 16 , 故只要证 5(5mn 4) 1 25mn 20( m n) 16 2 a m a n , 即只要证 20m 20n 37 2 a m a n . 因为 2 a m a n a m a n 5m 5n 8 5m 5n 8 (15m 15n 29) 20m 20n 37 , 所以命题得证. 本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由 2 a m a n a m a n 放大即可. 8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例 8、.已知 i,m、n 是正整数，且 1<i≤m<n. (1)证明：n A im <m A in ;(2)证明：(1+m) >(1+n)i i n m

证明：(1)对于 1<i≤m,且 A im =m· ·(m-i+1),

A im m m 1 Ai m i 1 n n 1 n i 1 , ,同理 m i i m m m n n n m n由于 m<n,对于整数 k=1,2, ,i-1,有

n k m k , n m

所以

A in A im i ,即m i A in n i A im i n m

(2)由二项式定理有：深圳 林老师 上门家教 高中数学精品培训 136-3264-3505

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(1+m)n=1+C 1 m+C 2 m2+ +C n mn, n n n (1+n)m=1+C 1 n+C 2 n2+ +C m nm, m m m 由(1)知 miA in >niA im (1<i≤m<n ) ,而 C im = ∴miCin>niCim(1<m<n ) ∴m0C 0 =n0C 0 =1,mC 1 =nC 1 =m·n,m2C 2 >n2C 2 , , n n n m n m mmC m >nmC m ,mm+1C m 1 >0, ,mnC n >0, n m n n ∴1+C 1 m+C 2 m2+ +C n mn>1+C 1 n+C2mn2+ +C m nm, n n n m m 即(1+m) >(1+n) 成立.n m

A im i A in , Cn

i! i!

求证

1 1 1 1 1 2! 3! n! 3 1

证明

1 k!

1 1 1 1

1 1 2 2

1 3!

1 2 k 1

, ( k 2)1 n! 1 2 n 1

1 1 1

1 2! 1 2

1 2 n 1

1 22

1

1 2n 1 1 2

3

3

本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到 简化证题的目的。例 14设f ( x ) ax 2 bx c, 当 x 1时，总有 f ( x ) 1, 求证： (2) 7. f

分析

当 x 1时，总有 f ( x ) 1, f (0) c 1, 2b f (1) f ( 1), 2b f (1) f ( 1) f (1) f ( 1) 2, b 1. 2a f (1) f ( 1) 2c, 2a f (1) f ( 1) 2 c 4, a 2. 若 f (2) 4a 2b c 4 a 2 b c 11, 不符合要求.

注意到f(1)=a+b+c 若 f (2) 4a 2b c (a b c) 3a b f (1) 3 a b 8, 也不符合要求. 又注意到f(-1)=a-b+c深圳 林老师 上门家教 高中数学精品培训 136-3264-3505

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若 f (2) 4a 2b c (a b c) a b c) 2a 2b c ( a b c a b c 2 a 2 b c 1 1 4 1 7, 符合要求.

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧用放缩法证明下列各题。 例 1 求证： lg 3 lg 33 1.

2 lg 100 2 ( ) 1, 所以 lg 3 lg 33 1. 2

证 明 ： 因 为 ab ( a b ) 2 , 所 以 左 边 ( lg 3 lg 33) 2 ( lg 99 ) 2 , [ 因 为 99 < 100 ( 放 大 ) ] <

2

2

例 2 若 n N, n 2, 求证： log n (n 1) log n (n 1) 1. 证明：因为 n 2, n 1 1, 所以 log n (n 1) 0, log n (n 1) 0, 因为

log n (n 1) log n (n 1) 2 [log n (n 2 1)]2 [因为 2 ,所以 ] n 1 n 2 (放大) 2 4 2 2 2 2 ,所以 [log n (n 1)] (log n n ) 1 ,所以 log n (n 2 1) log n n 2 , 又 n 2, 所以 log n x 是增函数] 4 4 log n (n 1) log n (n 1) 1. log n (n 1) log n (n 1) [例 3 求证： log n (n 1) log n 1 (n 2)(n 1, n N).

右边 log n 1 (n 2) log n 1 (n 2) log n 1 n (因为 log a b log b a 1 ) 左边 log n (n 1) log (n 2) log n 1 n 2 [ n 1 ] 2 log n (n 2) 2 [ n 1 ] 2 2 [又因为 n (n 2) (n 1) 2 (放大),所以 [ log n 1 n (n 2) ] 2 [ log n 1 (n 1) ] 2 1, 所以 ] 2 2 log n (n 1) log n 1 (n 2).证明： 例 4 已知 a b 0, 求证： a b a b . 证明：因为 a b 0

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