高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩

nn

例1.(1)求 2的值; (2)求证: 1 5.

22

3k 14k 1k 1k解析:(1)因为 (2)因为

24n2 1

1

n2

211,所以n212n 1 2

(2n 1)(2n 1)2n 12n 12n 12n 1k 14k 1

4

n

1111 25 1 ,所以 1 1 2 1 1 2 2 2 k352n 12n 133 k 14n 1 2n 12n 1 n2

4

1

奇巧积累:(1)

1441 1 2 2 2 2n4n4n 1 2n 12n 1

r 1

r

Cn

(2)

1211 2

CCn(n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)

1n 1

(3)T

1n!11111 (r 2) rr

r!(n r)!nr!r(r 1)r 1rn

(4)(1 1)n 1 1 1 1

n

2 1

3 215

n(n 1)2

1

n 2 n 2

2n 1

2n 3 2

11

n 1

(2n 1) 2(2n 3) 2n

(5)

111

n n

n

2(2 1)2 12

n

(6)

21 1 (7)2(n 1 n) 1 2(n n 1) (8) n

n

(9)

111 111 11 ,

k(n 1 k) n 1 kk n 1n(n 1 k)k 1 nn 1 k

n11

(n 1)!n!(n 1)!

(10) (11)

1 (2n 1 n 1)

22n 1 n 1

n

211 n 22

(11) (12) (13) (14)

2n2n2n2n 111 n n n n 1 n(n 2)n2nnn 1

(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 2)(2 1)(2 1)2 12 11n3

1n n2

111

n(n 1)(n 1) n(n 1) n(n 1) n 1 n 1

1

1 n 1 1 1

n 1 2 1

1 1

1n 1

2n12n

n 32 13

2n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2n 1) 2n 2n 1 k 211

k! (k 1)! (k 2)!(k 1)!(k 2)!

(15)

1

n 1(n 2) n(n 1)

22

(15) i 1 j 1

i2 j2

(i j)(2 1

j2 1)

i j

i ji2 1

j2 1

1

3

5

171

(n 2) 2

62(2n 1)(2n 1)

例2.(1)求证:1 1 1

22

(2)求证:1 1 1 1 1 1 (3)求证:1 1 3 1 3 5 1 3 5 (2n 1) 2n 1 1

2

4

16

36

4n

2

24n22 42 4 62 4 6 2n

(4) 求证：2(n 1 1) 1 1 1 1 (2n 1 1)

n

解析:(1)因为

111 11 ,所以 2

(2n 1)(2n 1)2 2n 12n 1 (2n 1)

(2i 1)

i 1

n

1

2

111111 1 ( ) 1 ( )

232n 1232n 1

(2)1 1 1 1 1(1 1 1) 1(1 1 1)

222

4

16

36

4n

4

2

n

4

n

(3)先运用分式放缩法证明出1 3 5 (2n 1)

2 4 6 2n

1n 1

,再结合

1n 2

2 n

进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先再证

1n

1 2(n 1 )

2n 1 22

,所以容易经过裂项得到2(n 1 1) 1 1 1 1

2

而由均值不等式知道这是显然成立的，

2(n 1 2n 1)

2n 1 2n 1

n

211

n 22

所以1 1 1 1 (n 1 1)

2

例3.求证:

6n1115

1 2

(n 1)(2n 1)49n3

1

n2

1 1

2 2 4n 12n 12n 1 2 n 41

4

解析: 一方面: 因为,所以

k

k 1

n

1

2

11 25 11

1 2 1

2n 12n 1 33 35

另一方面: 1 1 1 1 1 1 1

2

4

9

n

2 3

3 411n

1

n(n 1)n 1n 1

当n 3时,

当n 2时,所以综上有

6n111n6n,当n 1时, 1 2

(n 1)(2n 1)49nn 1(n 1)(2n 1)

6n111

1 2,

(n 1)(2n 1)49n

,

6n1115

1 2

(n 1)(2n 1)49n3

例4.(2008年全国一卷)设函数f(x) x xlnx.数列 an 满足0 a1 1.an 1 f(an). 设b (a1，1)，整数k≥a1 b.证明:ak 1 b.

a1lnb

解析: 由数学归纳法可以证明 an 是递增数列, 故 若存在正整数m k, 使am b, 则ak 1 ak b,

若am b(m k),则由0 a1 am b 1知amlnam a1lnam a1lnb 0,a a alna a kalna,

mmk 1kkk1

m 1

因为

k

,于是a a k|alnb| a (b a) b

例5.已知n,m N ,x 1,Sm 1m 2m 3m nm,求证: nm 1 (m 1)Sn (n 1)m 1 1.

解析:首先可以证明:(1 x)n 1 nx

nm 1 nm 1 (n 1)m 1 (n 1)m 1 (n 2)m 1 1m 1 0 n[km 1 (k 1)m 1]所以要证

k 1

nm 1 (m 1)Sn (n 1)m 1 1只要证:

[km 1 (k 1)m 1] (m 1) km (n 1)m 1 1 (n 1)m 1 nm 1 nm 1 (n 1)m 1 2m 1 1m 1 [(k 1)m 1 km 1]

k 1

k 1

k 1

nnn

故只要证

[km 1 (k 1)m 1] (m 1) km [(k 1)m 1 km 1],

k 1

k 1

k 1

nnn

即等价于km 1 (k 1)m 1 (m 1)km (k 1)m 1 km,

即等价于1 m 1 (1 1)m 1,1 m 1 (1 1)m 1 而正是成立的,所以原命题成立.

k

k

k

k

例6.已知an 4n 2n,T

n

2n

a1 a2 an

,求证:T T T T 3.

123n

2

nn

解析:T 41 42 43 4n (21 22 2n) 4(1 4) 2(1 2) 4(4n 1) 2(1 2n)

n

1 41 23

所以

2n2n3 2n32n

Tn n 1 n 1 n 1

n44424 3 2n 1 222 (2n)2 3 2n 1(4 1) 2(1 2n) 2 2n 1 2n 133333

32n3 11 n n 1 nn

2(2 2 1)(2 1)2 2 12 1

2n

1111 从而T T T T 3 1 n123n

2

3

3

7

2 1

12

n 1

3

1 2

例7.已知x1 1,x n(n 2k 1,k Z),求证:

n

4

n 1(n 2k,k Z)证明:

4

1x2 x3

1

1

4

x4 x5

1

4

x2nx2n 1

( 1)(n N*)

12n2n 1

1

1

4n2 11

1

22,

4n22

2

因为

2 n n 1,所以

x2nx2n 1

2nn n 1

2(n 1 n)

所以

1x2 x3

1

x4 x5

1

x2nx2n 1

(n 1 1)(n N*)

二、函数放缩

例8.求证：ln2 ln3 ln4 ln3 3n 5n 6(n N*).

n