2013交大少年班数学试题解答

2013交大少年班数学考试题

一．填空题（5分×9）

1. （函数-经济应用题）一种产品以质量从小到大分为十个档次，第一个档次每件产品的利

润为8元，平均销量为60件，每提高一个档次，利润增加2元，平均销量减少3件。若要取得最大利润，则应选择哪一档次。

解析：设选择第x档次，总利润为y，则有

y (8 2x)(60 3x)

6(4 x)(20 x)

当4 x 20 x时，y有最大值，此时x=8，故选择第8档次

2. （函数-反比例函数）如图，在平面直角坐标系xoy上，有两个正方形，第一个正方形两

个顶点在坐标轴上，另两个顶点PP2在函数y 1、2上；第二个正方形一个顶点在x轴x

P3在函数y 上，另两个顶点P2、2上，求P3的坐标。 x

解析：由于正方形中直角较多，出现了较多的弦图

P2在函数y 则P1(a,a b),P2(a b,b) 又P1、

可解出a b 1，P1(1,2),P2(2,1) 2 x

设P3到x轴距离为y，由弦图P3到y轴距离为y+2

则(y 2)y=2，而y

0，则y 1

故P31)

3. （几何-三角形）如图，在△ABC中，AD、BE、CF为垂线，AB=6，BC=5，EF=4，求BE

的 长。

解析：易得△AEF∽△ABC, 则AEEF4 ，可得AE 6 4.8

ABBC5

3.6 由勾股定理，BE

4. （排列组合）把七个相同球放入三个相同空盒子里，每个盒子可以选择不放，求共有多少种放法。

解析：设放在三个盒子里的球数分别为x、y、z，球无区别，盒子无区别，故可令x≥y≥z，

依题意有x y z 7，于是3x≥7，x≥2，故x只有取3、4、5、6、7共五个值． ①x=3时，y+z=4，则y只取3、2，相应z取1、2，故有2种放法；

②x=4时，y+z=3，则y只取3、2，相应z取0、1，故有2种放法；

③x=5时，y+z=2，则y只取2、1，相应z取1、0，故有2种放法；

④x=6时，y+z=1，则y只取1，相应z取0，故有1种放法；

⑤x=7时，y+z=0，则y只取0，相应z取0，故有1种放法．

综上所求，故有8种不同放法．

5. （几何-三角形）直角边为整数，且周长为面积的整数倍的直角三角形有多少种？

解析：设直角边为a,b，不妨设a b，则斜边

为，则由题

有

1a b kab 2

则

(2a 2b kab) 22

b4 即 kab 4ka

即 (ka 4)(kb 4) 8 2222ka2 b8 a0b

ka 4 8 ka 4 4则 或 kb 4 1kb 4 2

则 a 12 a 8 a 4， ， b 6 b 3 b 5

综上所述共三种这样的直角三角形

a2b2c2

的值。 6. （代数-代数式求值）已知：abc 0，a b c 0，求：bcacab

a2b2c2a3 b3 c3

333 解析：由所求，需要知道a b c与abc的关系， bcacababc

而a b c 3abc=(a b c)(a b c ab ac bc)=0 333222

a2b2c2a3 b3 c3

则=3 bcacababc

7. (几何-正方形)如图，△AED为Rt△，以AD为边长在三角形同侧作正方形ABCD，AE=5，

E

点距正方形中心ED。

解析：由 AED AOB 90,则A,E,O,D四点共圆

由托勒密定理AD EO AE DO AO ED

可设DO AO

a，则AD

,AE 5,EO

5a a ED 则ED=11

8. （几何-三角形）如图，△ABC为等腰Rt△，角A为90°，E为AC中点，EF⊥BE，且

交BC与点F。AB=2，求S△EFC。

解析:过点F作FH AC,由 BEF 90，

则△ABE∽△HEF

又AB 2AE 2,则HE 2FH,

又 C 45,则CH FH

故3FH EC 1, 可得FH 1 3111S EFC 1 236

9. （函数-二次函数）已知二次函数：y=x2+b，且与x轴的两个交点(可重合)与原点之间的

距离之和小于等于1。求|bmax|+|bmin|的值。 解析：由题x1 x2

1，即 1,可得 1 b 0 4

|bmax|+|bmin|=1 4

二．解答题。

1. （12分）（代数-行程应用题）有四艘快艇A、B、C、D，速度分别为v1、v2、v3、v（现进行一场比赛，D顺流而下，A、B、C逆流而上，一小4v1 v2 v3 v4）

时后，A、B、C掉头追赶D，水流速度为v，问谁先追上D？

解析： 设逆流而上的船速度为x，掉头时间为1，则掉头时两船相距

S v4 v 1 (x v) 1 v4 x ，而其速度差为x v4 则追上时间T x v42v4,x越大，T越小 则A先追上D. 1 x v4x v4

2.（15分）（代数-分式恒等变形）已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：

a b c 32

① ②

b c ac a ba b c1 bccaab4

解析：将①②两式相乘，得(b c ac a ba b c )(a b c) 8， bccaab

22222(b c) a(c a) b(a b) c2

即 8， bccaab

(b c)2 a2(c a)2 b2(a b)2 c2

即 4 4 0， bccaab

(b c)2 a2(c a)2 b2(a b)2 c2

即 0， bccaab

(b c a)(b c a)(c a b)(c a b)(a b c)(a b c) 0， 即bccaab

(b c a)[a(b c a) b(c a b) c(a b c)] 0， 即abc

(b c a)(b c a)2[2ab a2 b2 c2] 0，即[c (a b)2] 0， 即abcabc

(b c a)(c a b)(c a b) 0， 即abc

所以b c a 0或c a b 0或c a b 0，即b a c或c a b或 c b a.

90°.