第二章 矩阵补充习题(含答案)

第二章 矩阵补充习题

1．已知对于n阶方阵A，存在自由数k，使得A 0，试证明矩阵E–A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）．

【详解】 由代数公式1-ak (1 a)(1+a+ +ak-1)以及A与E可交换，有

k

E-Ak (E A)(E+A+ Ak 1)，而Ak 0

故有(E A)(E+A+ Ak 1) E 可知E–A可逆，且有

-1

（E-A） E+A+ Ak 1．

2．设A为n阶非奇异矩阵， 为n维列向量，b为常数．记分块矩阵

EP T*

A

*

0 A，Q TA

，

b

其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵． (1) 计算并化简PQ；

(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是 A b．

【分析】 本题的关键是对于含A的计算或证明题，首先应联想到关系式

*

T 1

AA* A*A AE．另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些

是数，左乘还是右乘．

【详解】 （1）因AA AA AE，故

*

*

EPQ T*

A

A =

0

（2）由（1）可得 P

2

0 A TA

T*T

b AA A

A

TA* bA

． T 1

A b A b T

1

A ，

而PQ PQ,且P A 0,，故

1 T A ． Q b

由此可知，Q 0的充分必要条件为 A b，即矩阵Q可逆的充分必要条件是

T 1

TA 1 b．

【评注】 本题综合考查了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列式的性质以及伴随矩阵的性质．要特别注意重要公式：AA* A*A AE，且A可逆时，有

A AA, A

*

1

* 1

AA** 1 1

． ,A A A ,A

AA

3．设A和B均为n n矩阵，则必有

(A) A B A B (B) AB=BA.

(C) AB . (D) (A B) 1 A 1 B 1. 【 】 【详解】 矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般AB BA,但AB AB，而行列式是数，可交换，于是有AB B BA ，可见应选(C).

对于(A), (D)，主要考查行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。

101 nn 1

4．设A 020，而n 2为正整数，则A 2A .

101

【分析】 本题若分别计算出A及A

n

n 1

，再代入A 2A

2

3

nn 1

求其值，则将问题弄复杂

化了。一般而言，对于一个填空题，可先试算A,A, ,找出规律后，在进行计算。

【详解】 因为

101 101 202

2

A 020 020 040 2A，

101 101 202

故有 A 2A

5．设n维向量 (a,0, ,0,a),a 0；E为n阶单位矩阵，矩阵

T

A E ， B E

nn 1

An 2(A2 2A) 0.

T

1

T， a

其中A的逆矩阵为B，则a= .

T2T

【分析】 这里 为n阶矩阵，而 2a为数，直接通过AB E进行计算并

注意利用乘法的结合律即可.

【详解】 由题设，有

1

T) a11TTTT

=E

aa11TTTT

=E ( )

aa1TTT

=E 2a

a1T

=E ( 1 2a ) E,

a

112

于是有 1 2a 0，即 2a a 1 0，解得 a ,a 1. 由于A<0 ,故a=-1.

a2

AB (E )(E

T

6．已知X=AX+B, 其中

010 1 1 A 111， B 20， 10 1 5 3

求矩阵X.

【详解】由X=AX+B,，有 (E-A)X=B, 于是X (E A)B.

1

21 0 1 10

1 1

而 (E A) 10 1= 321，

3

0 11 102

1

21 1 1 3 1 0

1 故 X (E A) 1B= 32120 20.

3

5 3 1 1 0 11

7． 设

a11 a21

A

a31 a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14 a14

aa24 , B 24 a34a34

a44 a44

a13a23

a33a43

a12a22a32a42

a11 a21 , a31 a41

0 0 P1 0 1

其中A可逆，则B

0100

1

0010

1 1

00 , P2 00

0 0

0100100

0 0 , 0 1

等于

1

(A) A 1P1P2. (B) P1AP2.

1 1(C) P1P2A. (D) P2AP1. [ ]

【详解】 因为P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而P2是交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有 B AP2P1， 从而

1 1 1 1 1 B 1 (AP P P2P1)1P2A1P2A.

故正确选项为(C).

【评注】 设E为n阶单位矩阵，E(i,j),E(i(k)),E(i,j i(k))分别是将E交换第i,j两行、第i行乘以非零的k倍、将第i行的k倍加到第j行上去所得到的初等矩阵，则有

1

E(i,j) 1 E(i,j), E(i(k)) 1 E(i())， E(i,j i(k)) 1 E(i,j i( k)).

k

对于列变换的情形有类似的结果。

8． 设n阶矩阵A与B等价, 则必有

(A) 当|A| a(a 0)时, |B| a. (B) 当|A| a(a 0)时, |B| a.

(C) 当|A| 0时, |B| 0. (D) 当|A| 0时, |B| 0. [ ] 【分析】 对A通过一系列初等变换后得矩阵B,则A,B等价. 因此矩阵A与B等价的充要条件是: r(A) r(B)或存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B.

【详解】因为当|A| 0时, r(A) n, 又 A与B等价, 故r(B) n, 即|B| 0, 故选(D).

9. 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的 1倍加到第

110

2列得C，记P 010 ，则

001

（Ａ）C PAP. （Ｂ）C PAP.

1

1

（Ｃ）C PAP. （Ｄ）C PAP. 【 】 【详解】由题设可得

TT

110 1 10 110 1 10 B 010 A,　　　C B 010 010 A 010 ，

001 001 001 001 1 10 1 1

而 P 010 ，则有C PAP.故应选（Ｂ）.

001

10. 设矩阵A=(aij)3 3 满足A A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为

*

T

*

T

(A)

13

. (B) 3. (C) . (D)

33

3. [ ]

【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：

AA* A*A AE..

**

【详解】 由A A及AA AA AE，有aij Aij,i,j 1,2,3，其中Aij为aij的

*

T

代数余子式，且AA AE A

T

2

A A 0或A 1

2

3

而A a11A11 a12A12 a13A13 3a11 0，于是A 1，且a11

3

. 故正确选项3

为(A).

【评注】 涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：AA AA AE.

11． 设A是m n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则

(A) r r1． (B) r r1． (C) r r1． (D) r与r1的关系由C而定． …… 此处隐藏：1825字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……