附录1 统计学、矩阵代数知识简介

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附录2 统计学、矩阵代数知识简介

求和算子定义：对于T个观测值，x1, x2, , xT，求和可以简化地表示为

其中 称作求和算子。求和算子的运算规则如下： (1) 变量观测值倍数的和等于变量观测值和的倍数。

(2) 两个变量观测值和的总和等于它们分别求总和后再求和。

(3) T个常数求和等于该常数的T倍。

其中k是常数。利用求和算子定义，样本平均数可表示为

(4) 变量观测值对于其平均数 的离差和等于零。

利用规则(2)，(3)和样本平均数定义即可推导出上述结果。 (5) 随机变量的方差等于其平方的均值减去其均值的平方 证明：

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(6) 两个随机变量的协方差等于它们乘积的均值减去它们均值的乘积。

与规则(5)的证明类似，即可证明上述结果。定义双重求和为

(7) 两个变量和的双重求和等于它们各自双重求和的和。

(8) 两个不同单下标变量积的双重求和等于它们各自求和的乘积。

2.2.1 随机变量的数学期望

随机变量定义：按一定的概率取不同实数值的变量称为随机变量，用x, y等表示。 若随机变量x可能取的值为有限个或可列个，则称x为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能取值及其取值的相应概率称作离散型随机变量的概率分布。

若随机变量x可能取的值是整个数轴，或数轴上的某个区间，则称x为连续型随机变量。连续型随机变量的概率分布是通过随机变量在一切可能区域内取值的概率定义的。最常用和最简便的形式是通过概率密度函数表示。

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对于随机变量x，若存在非负可积函数f (x)，（- < x < ），使对任意实数a, b, (a < b)有

则称x为连续型随机变量。f (x)为x的概率密度函数（简称概率密度或密度）。由上式知f (x)在[a, b]区间上的积分等于随机变量x在[a, b]区间取值的概率。

对于离散型随机变量x，若有概率分布 P{x = xi} = p, (i = 1, 2, , )，则称

为x的数学期望，简称为期望或均值。记作E(x)。

对于连续型随机变量x，若密度函数为f (x)，则称

为x的数学期望。记作E(x)。

期望属于位置特征。用来描述随机变量取值的集中位置。体现了随机变量取值的平均大小。期望就是随机变量取一切可能值的加权平均。其中的权数就是概率值。

数学期望的性质如下：

(1) 常量的期望就是这个常量本身。

E(k) = k

(2) 常量与随机变量和的期望等于这个随机变量的期望与这个常量的和。

E(x + k) = E(x) + k

(3) 常量与随机变量乘积的期望等于这个常量与随机变量期望的乘积。

E(k x) = k E(x)

(4) 随机变量的线性函数的期望等于这个随机变量期望的同一线性函数。

E(k x + k) = k E(x) + k

(5) 两个随机变量和（或差）的期望等于这两个随机变量期望的和（或差）。

E(x ± y) = E(x) ± E(y)

(6) 两个相互独立随机变量乘积的期望等于这两个随机变量期望的乘积。

E(x y) = E(x) E(y)

2.2.2 随机变量的方差、标准差

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随机变量x对其均值的离差平方的数学期望，

E[x - E(x) ]

称作随机变量x的方差。记作Var(x)。

2

则称作x的标准差。方差和标准差用来描述随

机变量的离散特征。它们反映了随机变量取值离散程度的大小。

对于离散型随机变量x，方差的定义是

其中pi表示x取xi值时的概率。

对于连续型随机变量x，方差的定义是

其中f (x) 是x的概率密度函数。

注意：（1）Var(x)的量纲是x的量纲的平方。（2）

随机变量方差的性质： (1) 常量的方差为零。

Var(k) = 0

(2) 随机变量与常量之和的方差等于这个随机变量的方差。

Var(x + k) = Var(x)

其中x为随机变量，k为常量。

(3) 常量与随机变量乘积的方差等于这个常量的平方与随机变量方差的乘积。 Var(k x) = k2 Var(x)（其中K为常量）

的量纲与x的量纲相同。

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证明

(4) 两个相互独立随机变量之和（或差）的方差等于这两个随机变量方差的和。

Var (x ± y) = Var (x) + Var (y)

下面证明随机变量之差情形。

(5) 随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望减其期望的平方（证明）。

Var (x) = E(x) – [E(x)]

2

2

2.2.3 随机变量的协方差

协方差定义：随机变量x, y分别对其均值的离差乘积的数学期望

E [x - E(x) ][y - E(y)]

称作随机变量x, y的协方差，记作Cov(x, y)。其中E(x), E(x)分别表示x, y的期望。协方差用来描述两个随机变量关系的紧密程度。

对于离散型随机变量x, y，协方差定义为

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其中p(xi, yj ) = P(x = xi, y = yj ) 表示x = xi, y = yj 条件下的概率。上式是协偏差[ xi - E(x) ][yj - E(y)]的加权平均。

对于连续型随机变量x, y，协方差定义为

其中p(x, y )是x, y的概率密度函数。当x, y相互独立时，Cov(x, y) = 0。协方差的大小与

x, y的量纲有关。一般来说，改变x, y的量纲，则x, y协方差的值也要改变。因此协方差所

提供的主要信息是正值、负值还是零。

2.3.1 正态分布与标准正态分布

正态分布定义：若连续型随机变量x的概率密度函数为

其中 , 为常量， > 0，则称x服从正态分布。记作x N( , 2 )。 , 分别是x的数学期望和标准差。可以证明

三种不同参数的正态分布曲线见图1。概率密度函数f (x)呈钟形。最大值点在x = 处。曲线以x = 对称。在x = 处密度函数曲线有拐点。当x 时，f (x) 以x轴为渐近线。当 较大时，f (x) 曲线较平缓；当 较小时，f (x) 曲线较陡峭。已知 和 的值，就可以完全确定正态分布密度函数。

标准正态分布定义：对于正态分布密度函数f (x)，当 = 0， = 1时，即

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称连续型随机变量x服从标准正态分布。记作x N(0, 1)。对于标准正态分布E(x) = 0，V

ar

。

标准正态分布曲线见图2。标准正态分布密度函数f0 (x)有如下性质：（1） f0 (x) 以纵轴对称；（2）x = 0 时，f0 (x) 的极大值是 点；（4）

。

（3）f0 (x) 在x = 1处有两个拐

图2 标准正态分布曲线

正态分布随机变量的标准化。若x N( , )，a, b为任意实数，且a < b，则

2

设u = (x - ) / ，则（参见微积分中换元积分法）

显然u是一个服从标准正态分布的随机变量。当x N( , )时，令u = (x - ) / ，则

2

可见对一般正态分布随机变量x做变换u = (x - ) / ，则可以把x转化为服从标准正态分布的随机变量u。

2.3.2 t分布

t分布是连续型的概率分布，并具有一个参数n。n称作自由度。n可以取所有正整数，构成

一个t分布族。服从自由度为n的t分布 …… 此处隐藏：7505字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……