梯度、散度、旋度表达式推导

梯度、散度、旋度表达式

梯度，散度， 梯度，散度，旋度及曲线 坐标系

梯度、散度、旋度表达式

( x, y , z , t )

1.梯度 梯度标量场表示： 等值线(面)表示： 梯度 梯度表示场的不均匀 性 ( x, y , z , t ) (x, y, z, t0 ) = C ( grad , )

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1.梯度 梯度a.均匀场： (x, y, z, t) = C 即任何 a. 地方任何时刻 均为常数 b.定常场： ( x, y, z ) = C 即 不随 b. 时间变化而变化

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1.梯度 梯度c.方向导数 r s 方向上得方向导数为：lim M ' M →0

( M ') ( M )M 'M

=

s

M 处法线方向上的方向导数： (M1 ) (M ) ( M ') ( M ) = Mlim0 = Mlim0 'M→ 'M→ n M 1M MM 'cos θ r r = Mlim0 r r = s cos(n , s ) 'M→ MM 'cos(n , s )

( M ') ( M )

(条件：因为 MM ' 极小，所以等值线可近似看作与法线垂 直)

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1.梯度 梯度d. 梯度概念 梯度： grad = = e. grad , 所以 是个矢量，其方向为 等值面的法线方向 表示场的变化率

r n n

均匀场 = 0 注意：若定常场的梯度为零，则其为均匀场。

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1.梯度 梯度f. egx 2 + y 2 = 2 x ,求(1,1)处法线方向 = x2 + y 2 2x 解：令

则由题可知

= x 2 + y 2 2 x =0

所以可求得 而 为矢量，所以 的方向即为(1,1) 处法线方向

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1.梯度 梯度g. 梯度的单位 由定义可知 x = r r (n , x ) = n x r r r 所以 = x i + y j + z k

上式即为 在直角坐标系中的表示。 h. 性质r dr = d r dr = dxi = dx + dy + dz 证明： xi x y z

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2. 散度a . 通量 给定一矢量 a(r , t),在场内取一曲面 S,它可以 是封闭的也可以是不封闭的，在 S 面上取一面积元 素 d S ,在 d S 上任取一点 M,作 S 面在 M 点的法线， 令 n 表示 S 面上法线方向的单位矢量，a 表示 M 点 上的矢量函数的值，则an = a n = ax cos(n, x) + ay cos(n, y) + az cos(n, z)

表示矢量 a 在法线方向上的投影。

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2. 散度a . 通量 定义 an dS 为矢量 a 通过面积元 d S 的通量，将

∫a 之沿面积 S 积分得s

n

dS

。 称为矢量 a 通过 S 面的

通量。 定义面积矢量 d S 大小为 d s,方向为法线正方向 的量，即

dS = dsn

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2. 散度b. 散度 1).定义r diva = a = limv →0

r r ∫ a dS V

注：1. S 面为封闭曲面 2. V 的界面为 S

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2. 散度b. 散度 2) 表示形式r diva = a = limv →0

r r ∫ a dS V

ax a y az ai = + + = x y z xi

证明如下：r r ∫ a dS = =x x

r r a ndS = ∫y y

∫ (a nx z z

x

+ a y n y + a z n z ) dS

∫ a n dS + a n dS + a n dS

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2. 散度b. 散度 2) 表示形式 又因为：nx dS = dydz n y dS = dxdz nz dS = dxdy

所以上式就转化为：

∫ (a dydz + a dxdz + a dxdy)x y z

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2. 散度b. 散度 2) 表示

形式利用高斯公式把面积分转化为体积分上 式可得： ax a y az ∫ ( x + y + z )dV

所以，最后可得limv →0

r r ∫ a dS V

∫(limv →0

ax a y az + + )dV a a y az r a x y z = x+ + = a = i V x y z xi

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2. 散度b. 散度3)面积分与体积分的转换

r r r ∫ n adS = ∫ adV注意点：1.r n 必须在最前面

2. 封闭积分r r 3 ∫ a ndS ≠ r ∫ (a )dV

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3.旋度 .a.环量 环量 给定一矢量场 a(r, t),在场内场内 任取一曲线 L,作线积分r r ∫ a dr = ∫ (ax dx + ay dy + az dz )L L

称之为矢量 a 沿曲线 L 的环量。若 L 是一封闭曲线，我们在积分号中加一 小圆圈 ∫ ,并称之为矢量 a 沿封闭回 线 L 的环量。

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3.旋度 .b.旋度 旋度 1) 定义： 矢量 a 的矢量旋度 在 n 方向的投影rota

rotn a = lims →0

r r ∫ a drL

S

注意：1)L 为封闭曲线，即积分为封 积分 2)S 的界面为 L

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3.旋度 .b.旋度 旋度 2) 表示形式rotn a = lims →0

r r ∫ a drL

S

i r = ×a = x ax

j y ay

k z az

证明如下： 因为： Lr r ∫ a dr =

∫ (a dx + a dy + a dz)x y z L

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3.旋度 .b. 旋度 2) 表示形式 再由线积分转化为面积分可得： 上式=

∫ [(L

a y ax a a az a y ) nx + ( x z ) n y + ( )n y ]dS y z z x x y

r r a dr ∫

所以

lims →0

L

S

i r = × a = x axi r = ×a = x ax

j y ayj y ay

k z azk z az

即

rotn a = lims →0

r r a dr ∫L

S

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4. 曲线坐标系a. 曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系 曲线坐标的引进， 空间中任一点 M 在直角坐标系中是由 (x, y, z) 三个数唯一决定的。此时矢经 r 的表达式是：

r = xi + yj + zk但是我们也可以用另外三个数(q1, q2, q3)唯一决 定 M 点。q1, q2, q3 称为曲线坐标。