一个姊妹不等式的初等证明

２０１４年第３期中学数学研究

参考文献’……

３１

（３＂－。１：：彳，导爷孽曼数为尺上的尊函数，ｊ尹？茹＞０时，＾（石）＜＾（０）＝ｎ＋１—３。＜０，．‘．Ａ’（石）＜

０’．．．ｘ（ｘ）为Ｒ上减函数得证．

（江西），２０１３，１０．

［１］刘臻．用通性法证明一些新的不等式题，中学数学研究

一个姊妹不等式的初等证明

宁夏固原市五原中学宁夏固原市第一中学

题目

设口，ｂ，Ｃ是正实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，则

有

（熹一口）（士一６）（南一ｃ）≥（詈）３（１）

（熹＋口）（士＋６）（南＋ｃ）≥（詈）３（２）

文［１］介绍上面两个不等式，并给出了不等式（１）的一个证明方法，并希望看到不等式（２）的初等证明，笔者经过几年的研究发现，不等式（２）的证明难度远远大于不等式（１），本文试图给出不等式（２）的初等证明，供同行参考．

证明：不等式（２）等价于‘ｒ三＋口）‘ｉ＿毛＋

６）（＾＋ｃ）≥（詈）３或１６（１＋口一口２）（１＋６一

ｂ２）（１＋ｃ—Ｃ２）≥１３３１（１一ａ）（１一ｂ）（１一ｃ）（３）

注意到（１＋ａ—ａ２）（１＋ｂ—ｂ２）（１＋ｃ—ｃ２）＝１＋（口＋ｂ＋ｃ）＋ａｂｅ＋（口６＋６ｃ＋口ｃ）＋ａｂｅ（ａｂ＋６ｃ＋ａｃ）＋（口２６２＋ｂＺｃ２＋０，２Ｃ２）一ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）一（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）一口２６２ｃ２一（ａ２ｂ＋口６２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋（１２Ｃ＋Ｏ，Ｃ２），

为了简化上面这个式子，需要用到下面化简后的结果，即口＋ｂ＋ｃ＝１；ａ２＋ｂ２＋Ｃ２＝（口＋ｂ＋ｃ）２—２（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ）＝１—２（ａｂ＋６ｃ＋∞）；ａ２ｂ２＋ｂ２ｃ２＋口２ｃ２＝（口６＋６ｃ＋口ｃ）２—２ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝（ａｂ

＋ｂｃ＋口ｃ、２—２ａｂｃ；ａ２ｂ＋口６２＋ｂ２ｃ＋６ｃ２＋ａ２Ｃ＋口ｃ２

＝（口＋ｂ＋ｃ）（口６＋６ｃ＋郇）一３ａｂｃ＝ａｂ＋６ｃ＋ａｃ一３ａｂｅ．因此得到

（１＋ａ—ａ２）（１＋ｂ—ｂ２）（１＋ｃ—Ｃ２）＝１＋ａｂｃ＋２（口６＋６ｃ＋∞）＋ａｂｃ（ａｂ＋６ｃ＋ａｃ）＋（口６＋６ｃ＋口ｃ）２一ａ２ｂ２ｃ２，（１一口）（１一ｂ）（１一ｃ）＝１＋（口６＋

６ｃ＋口ｃ）一ａｂｅ一（口＋ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋６ｃ＋ａｃ—ａｂｅ，

于是不等式（３）又等价于２１６［１＋ａｂｃ＋２（ａｂ＋

万方数据

（７５６０００）马占山（７５６０００）徐忠泽

６ｃ＋ａｃ）＋ａｂｅ（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ）＋（口６＋６ｃ＋∞）２一ａ２ｂ２Ｃ２］≥１３３１（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ—ａｂｅ）（４）

令ｍ＝ａｂ＋ｂｃ＋口ｃ，ｎ＝ａｂｃ，不等式（４）等价

于一２１６ｎ２＋２１６ｍｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６

≥０（５）

．。４ａｂ≤（口＋６）２＝（１一ｃ）２；４ｂｃ≤（ｃ＋６）２＝（１一口）２；４ａｃ≤（ａ＋ｃ）２＝（１—６）２．

以上三式相乘得到８ａｂｃ≤ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ—

ａｂｃｃ：’ａｂ＋ｂｃ＋口ｃ≥９ａｂｃｃ：》ｍ≥９ｎ．

． ．（５）的左边＝一２１６ｎ２＋２１６（乎＋孑）ｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６≥一２１６ｎ２＋２１６（－警＋

ｎ）ｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６＝１９２ｒａｎ＋１５４７ｎ＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６（６）

为证明（６）式非负，我们引用一个著名Ｓｃｈｕｒ不等式，即

设口，ｂ，ｃ是非负实数，则ａ（ａ—ｂ）（口一ｃ）＋ｂ（ｂ

—ｃ）（６一口）＋ｃ（ｃ一口）（ｃ一６）≥ｏ，作代换：∑口＝１，∑ａｂ＝ｍ，Ⅱ口＝ｎ．则ｓｃｈ叮不等式等价于ｆ３—４１ｍ＋９ｎ≥ｏ，在本题中∑口＝ｌ＝１，于是得到ｎ≥

９（４ｍ一１）．

那么（６），＞１９２ｍ×告（４ｍ一１）＋１５４７×吾（４ｍ

一１）＋２１６ｍ２—８９９ｍ＋２１６＝寺（３ｍ一１）（９０４ｍ一

３９７），１＝（口＋ｂ＋ｃ）２≥３（ａｂ＋６ｃ＋口ｃ）＝３ｍ＝＇Ｏ

＜ｍ≤÷，

因此最后一步寺（３ｍ一１）（９０４ｍ一３９７）≥０显

３２

中学数学研究２０１４年第３期

然成立．当且仅当口６＋６ｃ＋∞＝÷，口６＋６ｃ＋口ｃ＝

９口６ｃ且口＋ｂ＋ｃ＝１时取到等号，即当且仅当ａ＝６＝ｃ＝了１时取到等号．

（江西），２００７，１０．

参考文献

［１］赵思林，潘超．一个不等式的简捷证明．中学数学研究［２］马占山，魏广敏．—个不等式的初等证明．中学数学研究

（江西），２０１３，７．

探求一个数字结论后面的规律

湖南省长沙市１５中（４１０００７）厉倩

２０１３年江西文科教学第２０题的重点是，在一个

具体椭圆中，证明两直线的斜率之差为定值｝（见

例１）．

２

１联立解得茹＝筹一等等，所以

Ｐ（ａ２ａ２－－－－－－－ｌＩ＋ｔ１，等等），所以直线卯的斜率｜ｉ｝３＝

例１

椭圆ｃ：％＋告＝１（口＞ｂ２

口

＞ｏ）离心率

Ｄ

等芋÷ｃ筹训＝等等删直线卯

的方程为，，＝箸詈当告（茗一口），又毛＝口ｂ－－，Ｉ线ＡＤ

的方程为ｙ：６＋ｂ。

口

ｅ＝鱼２，口＋６＝３．

（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）如图１，Ａ，Ｂ，Ｄ是椭圆Ｃ的顶点，Ｐ是椭圆Ｃ上除顶点

，

，联立解得Ｍ（譬，掣），

‘

‘

外的任意点，直线卯交菇轴于

点Ⅳ，直线ＡＤ交卯于点肘，设

ＢＰ的斜率为矗，ＭＮ的斜率为ｍ，证明２ｍ—ｋ为定值．

铋４≮乡¨ｉ

夕

Ｄ

Ｍ

则删的斜率如＝丛≮盟÷（孚一１）＝ｉｂｉ，又¨蜘告＋鬈等＝兰，所龇地＝２如．

更一般的，在命题１中，如果Ｄ不是椭圆的顶点，相应的结论是否还成立？

图１

答案：（１）椭圆Ｃ的方程为等＋严＝１；（２）２ｍ

命题２如图２，设Ａ，Ｂ是椭圆ｃ：与＋旨＝１（口

口

Ｄ

一后＝寻

观察与分析：由（１）知ａ＝２，ｂ＝１，直线ＡＤ的

＞ｂ＞０）的左、右顶点，Ｎ（ｔ，０）（ｔ≠０，ｔ≠±ａ），不同于ＡＢ的直线ＮＤ与椭圆Ｃ交于两点Ｄ，Ｐ，直线ＡＤ

交即于点Ｍ，设直线ＡＤ、ＭＮ、卯的斜率分别为ｊ｝。，

七。．ｋ。．贝！Ｉｋ，＋ｋ。＝２ｋ．

斜率为÷，也即直线ＡＤ与ＢＰ的斜率之和等于直线

ＭＮ斜率的２倍；或者说，直线ＡＤ、ＭＮ、ＢＰ的斜率成等差数列．我们自然要问，这个结论对一般椭圆是否也成立？

命题１

为了减少计算量，先引用如下引理１：

引理１【１１

设圆锥曲线

如图，Ａ，Ｂ，Ｄ是椭圆ｃ：％＋告＝１（口

ａ

Ｄ

ｒ：以茹２＋ｃ旷＋２Ｄｘ＋２Ｅｙ＋Ｆ

＝Ｏ（Ａ２＋Ｃ２≠０），过定点Ｐ（ｍ，ｎ）（不与ｒ的中心重合）

历蚵爿≮

，

ＮＶＢ

／Ｐ

ｉ

＞ｂ＞０）的顶点，Ｐ是椭圆Ｃ上除顶点外的任意点，直线ＤＰ交菇轴于点Ⅳ，直线ＡＤ交ＢＰ于点Ｍ，设直线ＡＤ、ＭＮ、ＢＰ的斜率分别为七ｌ，如，ｂ，则蠡。＋后３＝ …… 此处隐藏：44字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……