2011年高考广东省理科数学试题

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟

注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号

填写在答题卡上。用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z满足 1 i z 2，其中i为虚数单位，则z= A．1 i B. 1 i C. 2 2i Ｄ．2 2i 2．已知集合A

x,y ∣x,y为实数，且x

2

y2 1 ，B x,y x,y为实数，且y x ，则A B

的元素个数为

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c (a 2b)

Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0

4. 设函数f x 和g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．f x g x 是偶函数 Ｂ．f x g x 是奇函数 Ｃ．f x g x 是偶函数 Ｄ．f x g x 是奇函数

0 x

5. 在平面直角坐标系xOy上的区域D

由不等式组 y 2给定。若M(x,y)为D上的动点，点A

x

ON的最大值为 的坐标为，则z OM

A

． B

． C．4 D．3

6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A．

1323 B． C． D． 2534

7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为

A.

8.设S是整数集Z的非空子集，如果 a,b S,有ab S，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T U Z,且 a,b,c T,有abc T; x,y,z V,有xyz V，则下列结论恒成立的是

A. T,V中至少有一个关于乘法是封闭的 B. T,V中至多有一个关于乘法是封闭的 C. T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D. T,V中每一个关于乘法都是封闭的

二 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）

9. 不等式x 1 x 3 0的解集是 .

7

2 4

10. x x 的展开式中，x的系数是

x

a1 1,ak a4 0a

11. 等差数列

n

前9项的和等于前4项的和. 若，则k=____________.

2

f(x) x 3x 1在x=____________处取得极小值。 12. 函数

13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高

与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题） 14.

（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为

52 x t

4(t R)，它们的交点坐标为___________. y t

x

(0 ) 和

y sin

15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，

C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB, 则AB。

三．解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分12分）

已知函数f(x) 2sin(x (1)求f(

13

6

),x R.

5

)的值； 4

106

,f(3 2 ) ,求cos( )的值. (2)设 , 0, ,f(3a )

2135 2

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5

（1（2）当产品中的微量元素x,y满足

x≥175，且y

≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望）。

18.(本小题满分13分)

如图

5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为

1的棱形， 且∠DAB=60

，PA PD E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF;

(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.

19.(本小题满分14分)

设圆C与两圆(x y 4,(x y 4中的一个内切，另一个外切。 （1）求圆C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M(

2

2

2

2

F，且P为L上动点，求MP FP的最大值及此时点P的坐标. 55

设b>0,数列 an 满足a1=b，an （1）求数列 an 的通项公式；

nban 1

(n 2)

an 1 2n 2.

bn 1

（2）证明：对于一切正整数n，an n 1 1.

2

在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y

12

x实数p，q满足p2 4q 0，x1，x2是方程4.

x2 px q 0的两根，记 (p,q) max x1,x2 。

（1）过点A(p0,

12

p0)(p0 0)作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有4

(p,q)

p02

;

2

（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a-4b>0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线l1,l2，切点分别

121

p1),E (p2,p22)，l1,l2与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：44

p1

PM(a,b) X P (a,b) 12

2;

125（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)-}.当点(p,q)取遍D时，求 (p,q)的最小值 （记为 min）44

和最大值（记为 max）.

为E(p1,

2011年广东高考理科数学参考答案

一、选择题

二、填空题 ９. [1, )； 14. (1,

10. 84；

15.

11. 10；

12. 2；

13. 185；

；

三、解答题 16．解：(1)f(

5 5

) 2sin( ) 2sin 41264

(2)f(3

2

) 2sin

105 12

， sin ，又 [0,]， cos ， 1313213

63

f(3 2 ) 2sin( ) 2cos ， cos ，

255

又 [0,

2

]， sin

4， 5

16. 65

cos( ) cos cos sin sin

17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5 （2）样品中优等品的频率为

14

35； 98

22

，乙厂生产的优等品的数量为35

14； 55

i

C2C32 i

（3） 0,1,2， P( i) (i 0,1,2)， 的分布列为 2

C5

均值E( ) 1

31 2 . 5105

18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD， PG AD，

由题意知ΔABC是等边三角形， BG AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，

AD 平面PGB， EF//PB,DE//GB， 平面DEF//平面PGB，

A

B