岳阳县一中2013年高二(文科数学)期末考试试卷(学生版)(2)

来源：网络收集时间：2026-09-13

导读：根据题意知,双曲线的焦点也应在x轴上,坐标为( 4,0)且其离心率等于 2y2（2）故设双曲线的方程为2 2 1(a1 0 b1 0),c 4 （8分） a1b1 1 c 2 a12 4 b12 c2 a12 12 （10分） 2 2y2于是双曲线的方程为 1. （12分） 412 所

根据题意知,双曲线的焦点也应在x轴上,坐标为( 4,0)且其离心率等于

2y2（2）故设双曲线的方程为2 2 1(a1 0 b1 0),c 4 （8分） a1b1

c 2 a12 4 b12 c2 a12 12 （10分） 2

2y2于是双曲线的方程为 1. （12分） 412

所以a1

19. （本小题满分13分）

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天

(1 t 30,t N )的旅游人数f t (万人)近似地满足f(t) 4 ,而人均日消费g(t)(元)近似地

满足g(t) 115 |t 15|

(1)求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1 t 30,t N )的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值.

19.（1）解：W t f t g t 4 115 t 15 4

1 t

100

1 t 15 401 4t t

= 6

519 130 4t 15 t 30 t

（2）当t 1,15 ，401 4t

100100

401 24t 441（t=5时取最小值） 9 tt

30 ，因为W t 519 当t 15

W(30)=403.3 12

130

4t递减，所以t=30时，W(t)有最小值t

所以t 1,30 时，W(t)的最小值为403.3万元 13

这是高二文科数学期考试题

20．（本小题满分13分）

已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x

轴的垂线交C于点N.

(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

(2)是否存在实数k使NA·NB＝0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

20. 解：(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x2)，

把y＝kx＋2代入y＝2x2得：2x2－kx－2＝0，(2分) x1＋x2kk

故x1＋x2＝，,x1x2＝－1，所以xN＝xM＝

224

kk所以N点的坐标为 48. (4分)

kk2

x－，设抛物线在点N处的切线l的方程为 y－＝m 4 8mkk2

将y＝2x代入上式得2x－mx＋0，

mkk

＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝m－8 所以m 482

＝k，即l∥AB. (6分)

(另用导数的几何意义的y' 4x 4 k)

(2)假设存在实数k，使NA·NB＝0，则NA⊥NB，1

又因为M是AB的中点，所以|MN|＝AB|.

1111 kk2 由(1)知yM＝y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)k(x1＋x2)＋4］＝ 24 ＝＋2. (9分) 222242

k2k2k＋16

因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝2－488

又|AB|＝1＋k·|x1－x2|1＋k(x1＋x2)－4x1x2 21＝1＋k －4×(－1)＝k＋k＋16. 2 2k2＋161k＋k＋16，

(11分)

这是高二文科数学期考试题

解得k＝±2. 即存在k＝±2，使NA·NB＝0. (13分)

kkk2k2

(另解: NA·NB＝(x1 )(x2 ) (y1 )(y2 ) 0)

4488

21、（本小题满分13分）已知函数f(x) x ax，g(x)

125

x lnx 22

（1）若对一切x (0, ),有不等式f(x) 2x g(x) x 5x 3恒成立，求实数a的取值范围；

12512

x g(x)，求证：G(x) x . 22exe

解：（１）原不等式可化为：x3 ax 2x(x2 lnx ) x2 5x 3,化简得：

（2）记G(x)

ax 2xlnx x2 3,

∵x 0，故上式可化为a 2lnx

x恒成立，即a (2lnx x)min. xx

3x2 2x 3'

记t(x) 2lnx x,(x 0),t(x) ,

xx2

令t(x) 0,∵x 0 x 1，在（0,1）上，t(x) 0,在(1, )上，t(x) 0,

t(x)在（0,1）上单调递减，在(1, )上单调递增.

故当x 1时，t(x)有最小值为4，故a ( ,4] ……6分（2）化简得G(x) lnx，原不等式可化为lnx 记F(x) xlnx，可求其最小值为F()

12x2

，即证 xlnx 成立， xxexeee

， e

x21

记H(x) x ，可求其最大值为H(1) ，

eee

显然x (0, ),F(x) H(x)，故原不等式成立. ……13分

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