浅谈用“洛必达法则”求极限

2011年6月,自己写的大一结业论文... ...

浅谈用“洛必达法则”求极限

作者:** 学号:2010*******

数学科学学院数学与应用数学 10级汉二班

指导教师: ***

摘要：数学分析中几乎所有的概念都离不开极限。因此，极限概念是数学分析的重要概念，极限理论是数学分析的基础理论。极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。

极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则求极限；

③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限求极限；⑤利用等价无穷

小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极限；⑦利用洛必达法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。在此我只对利用“洛必达法则”求极限的这一方法进行了分析与概括。关键词：数学分析、极限理论、极限的计算、洛必达法则、无穷小（大）量

④洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：

0型；

∞

型

（x→∞或x→a），而其他的如∞

?

0，1∞，00，∞0，∞

1

，-∞2等形式的极

限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。1．“洛必达法则”的定义（L’Hospital）

约定用“0”表示无穷小，用“∞”表示无穷大。已知两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。因此，

称两个无穷小或两个无穷大量之比的极限为型0

或

∞

∞

型未定式极限。这两种情

况都不能直接用商的极限运算法则计算。实际上，导数本身就是讨论0

型未定式

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极限，因此，我们就能够以导数为工具来研究一般未定式的极限。这个方法通常称为“洛必达（L’Hospital）法则”。

2.“洛必达法则”的有关定理，适用形式及计算

定理（I ） 若函数()x f 与()x g 满足下列条件：

（i ）0lim ()0x x f x →=，0

lim ()0x x g x →=； （ii ）()f x 与()g x 在点0x 的某空心邻域内可导，且'()0g x ≠；

（iii ）0''()lim ()x x f x A g x →=， 则00''()()lim lim ()()

x x x x f x f x A g x g x →→==. 定理（II ） 若函数()x f 与()x g 满足下列条件：

（i ）0lim ()x x f x →=∞,0

lim ()x x g x →=∞； （ii ）()f x 与()g x 在0x 点的某一邻域内可导，且'()0g x ≠；

（iii ）0''()lim ()x x f x A g x →=， 则00''()()lim lim ()()

x x x x f x f x A g x g x →→==. 定理（I ）和（II ）可以接连应用几次，只要'()f x ,'()g x ,"()f x ,"()g x 等满足定理的条件即可。 除了00型和∞∞

型未定式，还有∞?0，∞-∞，1∞，00，∞0，等几种类型的未定式，这些未定式均可以化为00型或∞∞

型未定式来计算。 1）0∞?型未定式当0x x →或∞时，若()0f x →,()g x →∞，则

()()()()x g x f x g x f 1≡?或()()()()

x f x g x g x f 1

≡?， 这样，∞?0型未定式就变为00型或∞∞

型未定式。 2）∞-∞型未定式

当0x x →或∞时，若()f x →∞,()g x →∞，

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则()()()()()()

x g x f x g x f x g x f 1111?-≡- 这样，∞-∞型未定式就变为00

型未定式。 3）001,0,∞∞型未定式

当0x x →或∞时，若()1f x →(或()0f x →，或()f x →∞)，()g x →∞（或()0g x →）。则

()ln ()()ln ()g x f x g x f x =或()()ln ()()g x g x f x f x e =，

这样001,0,∞∞型未定式变为∞?0型未定式，再用1)的方法即可变为00型或∞∞

型未定式，就可利用洛必达法则进行求解。 例1. 求()0,0lim 0>>-→b a x

b a x x x 解：此极限为0

0型，满足洛必达法则条件。 ()()b a b a b b a a x b a x b a x x x x

x x x x x ln ln ln 1ln ln lim lim lim 0'

'00=-=-=-=-→→→ 例2. 求0ln(arcsin )lim cot x x x

+→. 解： 此极限为∞∞

型，满足洛必达法则条件。 注意到sin ~x x ，arcsin ~x x ，则

200002ln(arcsin )lim lim lim lim 0cot sin x x x x x x x

++++→→→→====- 例3. 求0

lim ln x x x +→. 解： 这是∞?0型未定式，由洛必达法则，

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000021

ln lim ln lim lim lim()0x x x x x x x x x x x

++++→→→→===-=- 例4.求2011lim tan x x x x →??- ???

. 解： 明显，本题为∞-∞型未定式，那么首先将它化为00

型未定式，而后再 利用洛必达法则。

22300011tan tan lim lim lim cos tan tan sin x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--??-==?? ??? 222000sec 12sec tan 1tan 1lim lim lim 3633x x x x x x x x x x →→→-===?= 例5.求1ln lim arctan 2x x x π→+∞??- ???.

解 本题为00型，可以将其转化为00型或∞∞

型。 令1ln arctan 2x y x π??=- ???，则ln arctan 2ln ln x y x π??- ???=，此时lim ln x y →+∞已是∞∞型， 即有，

2211ln arctan arctan 212lim ln lim lim lim 1ln arctan 2

x x x x x x x x x y x x x πππ→+∞→+∞→+∞→+∞-

+??--- ???+===- ()222222

21211lim lim 1111x x x x x x x x →+∞→+∞+--

+-===-+-+。 所以，1lim x y e -→+∞

=，因此 1ln 1lim arctan 2x x x e π-→+∞??-= ???.

洛必达法则是求未定式的一种有效的方法，但是最好是能与其他求极限的方

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法结合使用。如能化简时尽可能化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可使运算简捷。

最后，指出使用L ’Hospital 法则时要注意的两个问题。

第一，当0()lim ()

x x g x f x →不是00型或∞∞型以及它们的变形时，不能使用法则，否则可能会造成错误。

例6. 求21sin lim

1cos x x x π→

+-. 解 这不是00型，也不是∞∞

型，它的极限为 221sin 1sin 2lim lim 21cos 1cos 2x x x x πππ

π→→++==-- 若不问情况地贸然使用L ’Hospital 法则，

22

1sin cos lim

lim 01cos sin x x x x x x ππ→→+==- 就会得出不正确的结果。因此，每次使用L ’Hospital 法则之前都必须对极限的类型加以检验。

第二，L ’Hospital 法则只告诉我们，对于00型或∞∞型，当0''()lim ()x x g x f x →存在时，它的值等于0()lim ()x x g x f x →。当0''()lim ()

x x g x f x →不存在时，0()lim ()x x g x f x →仍可能存在。如cos lim x x x x →∞+，虽然是∞∞型，但我们并不能根据当x →∞时()'

'cos 1sin x x x x +=+的极限不存在，就错误地得出cos lim x x x x

→∞+也不存在的结论——事实上，显然有 cos lim 1x x x x

→∞+=. 因此，0 …… 此处隐藏：2577字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……