第一章《勾股定理》专题复习(含答案)(2)

分析：梯子顶端A下落的距离为AE，

C 图 16 B C B D

（１） （1） 图 16 （ 2 ）（ 2）

即求AE的长．已知AB和BC，根据勾股定理可求AC， 只要求出EC即可。

解：在Rt△

ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2在Rt ECD中，EC

2

ED CD

22

2.5 2

22

2.25

∴EC=1.5， AE AC EC 2 1.5 0.5，所以，梯子顶端下滑了0.5米．

点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理的知识来解决．但要 注意：考虑梯子的长度不变．

例2．有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺； 把竹竿斜放,，竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?

分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之

解：设竹竿长为x尺。则：（x―4）2+（x―2）2=x2 x1=10 ，x2=2（不合题意舍去） 答：竹竿长为10尺。

评注：本题是勾股定理与方程的综合应用问题，它综合考查了同学们的建模思想和方法的理解和运用，符合新课程标准的理念，请注意这类问题！

例3．如图17，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，

北

在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80，测得C处的方位角为南

勾股定理 17 - 8 - 图

偏东25 ，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20 ，则C到A的距离是（ ）

A

．；B

．；C

．km；D

．km

分析：本题是一道以航海为背景的应用题，由已知条件分析易知△ABC 不是直角三角形，这就需要作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形， 问题便可得到解决．

解：由条件易得：∠C=450，∠ABC=750，则∠A=600，过B作BD⊥AC， 垂足为D，∴△BCD是等腰直角三角形，又∵BC=30km，由勾股定理得：

22

2CD=30，∴

CD=

BD=AD=x，则AB=2x，由勾股定理得：

BD=

，∴

=

x=

AC=

D．

点评： 在航海中，有时需要求两船或船与某地方的距离，以保证航海的安全，有时就需要用勾股定理及判定条件来加以解决，熟练应用勾股定理是解题的关键． 专练三：

1．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6

分钟到达书店(如图18),已知书店距离邮局640米，那么小明家距离书店 米．

2．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，

顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度各是 ． 3．小明叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建起栅栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算，周长应该是 ． 4．求图19所示（单位mm）矩形零件上两孔 中心A和B的距离（精确到0．lmm）．

勾股定理 - 9 -

邮

图18

家

图19

5．假期，小王与同学们在公园里探宝玩游戏，按照游戏中提示的方向，他们从A出发先向正东走了800米，再向正北走了200米，折向正西走300米，再向正北走600米，再向正东走100米，到达了宝藏处B，问A、B间的直线距离是 米． 6．如图20所示，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=53°，

C

∠B=37°．AB=5km，BC=4km，若每天凿0.3km， 试计算需要几天才能把隧道AC凿通．

B

7．如图21，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？

8．观察下列表格：

请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值。

勾股定理 - 10 -

9．如图22所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

图22

参考答案

专练一： 1．

32003

；2．12，13； 3．28；

5、1000

6． 解：因为∠A=53°，∠B=37°∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=52-42=9，所以AC=3，需要的时间t （天） 答：需要10天才能把隧道AC凿通。

7．由勾股定理得：AB=10，设CD=x，则DE=x，BD=8-x，BE=4，由勾股定理得： 42+x2=(8-x)2，解得x=3，即CD=3 8．12，5

9．连结AC，在Rt△ADC中，

22222

AC CD AD 12 9 225， AC 15，在△ABC中，AB2=1521

AC0.3

30.3

10

AC BC

22

15 36 1521， AB

2

2

2

AC

2

BC， ACB 90°

2

S ABC S ACD 12

15 36

12

12

AC BC

12

AD CD

2

12 9 270 54 216(m)

答：这块地的面积是216平方米。 专练二：

1．做一做：5 cm所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长. 2．断一断：(1)②③ ∵72+242=252, 122+352=372 (2)略

勾股定理 - 11 -

3．解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理：BC2=AC2+AB2=32+42=25，在直角三角形CBD中，根据勾股定理：CD2=BC2+BD2=25+122=169，∴CD=13． 4．∵42+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°,同理，∠ACD=90° ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

12

×3×4+

12

×5×12=6+30=36.

5．解：如图,以AP为边作等边△APD，连结BD.则∠1=60°－∠BAP= ∠2,

在△ADB和△APC中, AD=AP.∠1=∠2，AB=AC ∴△ADB≌△ADC(SAS)

∴BD=PC=5，又PD=AP=3，BP=4 ∴BP2+PD2=42+32=25=BD2 ∴∠BPD=90°

∴∠APB=∠APD+∠BPD=150°

6．(1)∵a2+b2+c2+100=12a+16b+20c，∴(a2－12a+36)+(b2－16b+64)+(c2－20c+100)=0，

即(a－6)2+(b－8)2+(c－10)2=0

∴a－6=0,b－8=0,c－10=0，即a=6,b=8,c=10，而6+8=100=10，∴a+b=c， ∴△ABC为直角三角形.

(2)(a3－a2b)+(ab2－b3)－(ac2－bc2)=0，a2(a－b)+b2(a－b)－c2(a－b)=0，∴(a－b)(a2+b2－c2)=0 ∴a－b=0或a2+b2－c2=0，∴此三角形ABC为等腰三角形或直角三角形. 7．解：本题答案不惟一，只要符合要求都可以，以下答案供参考．

2

2

2

2

2

2

8．解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图， 整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长 即可，在Rt△ABC中，AB=36，BC=

1084

27

∴由勾股定理得AC2=AB2+BC2=362+272 ∴AC=45，故整个油纸的长为45×4=180（㎝）．

Ａ

Ｃ

勾股定理 - 12 -