小升初·数论发散(数学)

小升初·数论发散(数学)

数论发散

本讲任务

板块一、约倍质合、余数操作问题

板块二、进位制和位值原理的综合运用 板块三、整除性质的综合运用

知识点1

1．三种求法：短除法、分解质因数法、辗转相除法 2．最大公约与最小公倍模型 3．大数操作问题：尝试着找规律

4．100以内的质数，质数明星：2和5

板块一、约倍质合的综合运用

例1

如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数；

②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5。

那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数。

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例2

一个正整数m满足下列条件：

①24，42和m任意两个数最大公约数相同； ②18，30和m任意两个数最小公倍数相同。 求m的值是多少？

例3

包包往一个水池里扔石子。第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子。第四次扔4颗石子 她准备扔到水池的石子数是106的倍数。请问：包包最少需要扔多少次？

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例4

如下图所示，有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

余数周期的综合运用

例5

某班43名同学围成一圈。由班长起从1开始顺时针连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再由这个同学从1开始连续报数，结果第一个演节目的是巍巍，第六个演节目的是铮铮。那么从巍巍到铮铮之间顺时针数有多少名同学？

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例6

50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数。第一位同学报1，跳过一人第三位同学报2，跳过两人第六位同学报3， 这样下去，报到2008为止。报2008的同学第一次报的是_______。

板块二、N进制和位值原理的综合运用

知识点2

1．N进制的数码只有0、1、2 （N－1） 2．N进制加减法中逢N进1，借1当N 3．N进制化十进制：位值原理

4．十进制化N进制：除N倒取余数法

例7

现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243。任意搭配这些筹码(也可以只选择一个筹码)可以得到多少个不同的和？

4

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例8

1 42857 76923 等，循环节是从小数点右边的第一位(即 ，1＝0.0＝0.1713

十分位)就开始的小数，叫做纯循环小数，包括7和13在内，共有_______个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。 在循环小数中类似于

例9

一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？

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板块三、整除性质的综合运用

例10

有一些各位数字互不相同且都不为零的五位数能被4整除。去掉其个位数，余下的四位数能被 5整除；再去掉其个位数，余下的三位数能被6 整除；再去掉其个位数，余下的两位数能被7整除。这样的五位数有几个？

例11

三个连续的非0自然数，中间一个是完全平方数，称这样的三个自然数的积为“美妙数”。问所有小于2009的“美妙数”的最大公约数是多少？

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例12

如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数n至少有一个倍数为“交替数”，则把n称为“好数”。 ⑴80是“好数”吗？说明理由； ⑵说明31是“好数”；

⑶证明：所有与10互质的正整数都是“好数”。

测试题

1．如果 a 2b 是7的倍数，求证： 3a b 也是7的倍数。(a、b都是自然数)

2．说明方程x8 y8 3 625z没有正整数解。

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3．101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是 。

4. 两个自然数之差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，那么这两个数中较大的一个数是 。

5．两个自然数的和是60，这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积是864，那么这两个数分别是多少？

化成最简分数后，分子有 种不6．设a，b，c是0~9的数字(允许相同)，将循环小数0.abc

同情况。

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7．一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走1颗花生，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和。

①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需要多少天？

②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按照原规律进行新的一轮。如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天？

1的自然数是2011的倍数。 8．证明一定存在一个形如111

n个

答案

1．略 2．略 3．6666 4．15 5．36、24 6．660 7．①12天 ②53天 8．略

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