高三数学专题测试题—空间向量与立体几何(2)

所以①错误;因为向量可以任意平移,可知②错; ③中的≠这一条件缺少,于是③错．

可以证明④中A、B、C、M四点共面．等式两边同加MO， 则(MO OA)

1311

(MO OB) (MO OC)=0,即MA MB MC 0, 33

,则与、共面，又M是三个有向线段的公共点，故A、B、C、M四点共面．故

④是真命题．

三、解答题： 17．证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空

间直角坐标系O xyz，

www. z

则O 0,0,0 ,A(0, 8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),

P(0,0,6),E(0, 4,3),F 4,0,3 ， 3分

G0,4,0,由题意得， 因OB (8,0,0),OE (0, 4,3)，

因此平面BOE的法向量为n (0,3,4)，FG ( 4,4, 3

得n FG 0，又直线FG不在平面BOE内，因此有 FG//平面BOE 6分

（II）设点M的坐标为 x0,y0,0 ，则FM (x0 4,y0, 3)，

．．．

．．．m 因为FM 平面BOE，

9所以有FM//n，因此有x0 4,y0 ，

4

即点M的坐标为 4, 9,0 ， 8分

4

．．．m x 0

在平面直角坐标系xoy中， AOB的内部区域满足不等式组 y 0，

x y 8

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，

所以在 ABO内存在一点M，使FM 平面BOE， 由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为4,18．解法一：（1） BC//B1C1，

9

． 12分 4

www. A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，

即 A1BC 60， （2分） 连接A1C，又AB AC，则A1B A1C

A1BC为等边三角形， 4分

由AB AC 1， BAC 90 BC

2，

2 a2 2 a 1； 6分

（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF BC1于F，

连接B1F，

B1E A1B,A1C1 B1E B1E 平面A1BC1

B1E BC1

又EF BC1，所以BC1 平面B1EF，即B1F BC1，

所以 B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角。 8分

A1B

在 B1EF中， B1EF 90，B1E

1 22

，B1F , 2 sin B1FE

B1E B1FE 600， 10分 B1F2

因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60。 12分

说明：取B1C1的中点D，连接A1D， 同样给分（也给12分）

解法二：（1）建立如图坐标系，于是B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，A1(0,0,a)（a 0）

B1C1 ( 1,1,0)，A1B (1,0, a)，

B1C1 A1B 1 3分

由于异面直线A1B与B1C1所成的角60，所以B

1C1与A1B的夹角为1200

即|B1C1| |A1B|cos120 1

1

2 a2( ) 1 a 1 6分

2

（2）设向量n (x,y,z)且n 平面A1BC1

于是n A1B且n A1C1，即n A1B 0且n A1C1 0， 又A1B (1,0, 1)，A1C1 (0,1,0)，

x z 0所以 ，

y 0

不妨设n (1,0,1) 8分

同理得m (1,1,0)，使m 平面BB1C1，（10分） 设m与n的夹角为 ，所以依m n |m| |n| cos ，

2 2 cos 1 cos

1

600， 12分 2

m 平面BB1C1，n 平面A1BC1，

因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60。 14分

11

说明：或者取BC的中点M，连接AM，于是AM (,,0)显然AM 平面BB1C1

22

19． 解: (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥面ABCD,

PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F为PD的中点， ∴PD⊥AF，

又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A， ∴CD⊥面ADP,

∴CD⊥AF．又CD∩DP=D, ∴AF⊥面PCD． 4分 （2）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN，

∴MN=

1

PA，MN∥PA， 2

∴MN=EB,MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形，

∴EM∥BN，又EM 面PEC,∴BD∥面PEC． 7分 （3）分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则C( 4,0,0)，D(4 ,4 ,0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)， ∵F为PD的中点，∴F(2,4,2)．

∵AF⊥面PCD，∴FA为面PCD的一个法向量，

FA=(－2,0,－2)，设平面PEC的法向量为n=(x,y ,z)， n CE 0则 , n CP 0

∴

z 2x

,令x=1,∴n (1, 1,2), 10分

x y z 0

, 2

∴cos FA,n

∴FA与n的夹角为

5 ． 6

． 12分 2

面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为

20．解：（1）假设四点共面，则存在实数x，y，z使OP xOA yOB zOC，

且x y z 1，

即2e1 e2 3e3 x(e1 2e2 e3) y( 3e1 e2 2e3) z(e1 e2 e3)． 4分

x 3y z 2，

比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组 2x y z 1，

x 2y z 3， x 17，

解得 y 5，

z 30

与x y z 1矛盾，故四点不共面； 6分

（2）若向量OA，OB，OC共面，则存在实数m，n使OA mOB nOC，

同（1）可证，这不可能，

，OB，OC可以作为空间的一个基底， 因此OA

令OA a，OB b，OC c，

由e1 2e2 e3 a， 3e1 e2 2e3 b，e1 e2 e3 c联立得到方程组，

e1 3a b c，

从中解得 e2 a c， 10分

e 4a b c. 2

所以OP 17OA 5OB 30OC． 12分

21．（1）张老师换掉的另一根塑料棒是CD（或AD、BC、BA），而陈成同学换掉的另一根塑料棒是

AC． 3分

根据题意作出如图所示的图形，其中图(1)表示陈 成同学想搭成的三棱锥,取AC中点E，连结BE、 DE，因AB2+CB2=AC2=2a2，所以BE是直角

△ ABC斜边上的中线，得BE=

2

a，同理， 2

△ DE=

2

a，从而由BE+DE=2a 3a=BD,不能构成三角形， 2

△ 所以图(1)错误． 5分

（2）如图(2)，不妨设张老师换掉的另一根塑料捧是CD，

取BD中点F，连结AF、CF，因△ABD是等腰三角形，所以AF⊥BD，又△BCD是直角三角形． 所以CF＝BF＝DF．又AB=AC＝AD，所以△ABF≌△ACF，从而AF⊥CF，又CF与BD确定平面BCD， 所以AF ⊥平面BCD．又AF 平面ABD，所以平面ABD⊥平面CBD． 9分 （3）由（2）可知：三俊锥的外接球的球心必在直线AF 上，设球半径为R，因BF=

3

a，AB=a， 2

∴AF=

311

a，由R2 (a)2 (R a)2,R a,所以新三棱锥的外接球的表面积S=4 a2． 12分

22222．解：（1）依题作点E、G在平面

DCC1D1内的正投影E1、G1，

则E1、G1分别为CC1、DD1的中点， 连结EE1、EG1、ED、DE1， 则所求为四棱锥E DE1FG1的体积， 其底面DE1FG1面积为

SDE1FG1 SRt E1FG1 SRt DG1E1

1 2 2 1 2 2， 3分 22

又EE1 面DE1FG1，E …… 此处隐藏：1914字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……