高三数学专题测试题—空间向量与立体几何

高三数学单元测试—空间向量与立体几何

一、选择题：

1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表

面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ） A． 0 B． 7 C．快 D．乐

2．用小立方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体需要的小立方块最少与最多分

别是（ ） A． 10与15 B．9与17 C．10与16 D．9与16

3．设m,n是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面，给出下列命题：

①若m⊥ ，n∥ ，则m⊥n；②若 , 则 ∥ ； ③若m∥ ，n∥ ，则m∥n;④若 ∥ ， ∥ , m⊥ 则m⊥ ． 其中正确命题的个数是（ ）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （ ）

4 4 10

B． 4+ C．8+4 D． 333

5．已知向量a (2, 1,3),b ( 4,2,x)，使a b成立的x与使a//b成立的x分别为（ ）

A． 8+

A．

101010

6 6 C．-6, , 6 , 6 B．-,

333

D．6,-

10

, 63

6．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

②若平面 ∥平面 ，则平面 内任意一条直线m∥平面 ；

③若平面 与平面 的交线为m，平面 内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面 ． 其中不正确命题的个数为 ．．．A． 3 B． 2

C． 1

D． 0

（ ） （ ）

7．若A(1, 2,1)，B(4,2,3)，C(6, 1,4)，则△ABC的形状是

A．不等边锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

8．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90°

9．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点

确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （ ） A．48 B．18 C．24 D．36． 10．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB =4,AC=6，

BD = 8，CD=2，则该二面角的大小为

（ ）

A．1500 B．450 C．600 D．1200

11．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上，且BD=1，若

AD与平面AA1C1C所成的角为 ，则sin 的值是 （ ）

A．

2

B．

2

2

C ．

4

D．

6

4

12．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬

完一条棱称为“爬完一段”;黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ）

A． 0

B．1

C．2

D．3

二、填空题：

13．已知力F1=(1,2,3)，F2＝(-2,3,-1)，F3(3,-4,5)，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，-2，1)移到M2(3，1，2)，则合力作的功为

14．两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上， 则这样的几何体体积的可能值有 个．

15． 已知球O的半径为1，A且每两点间的球面距离为，B，C三点都在球面上，

距离为 ,

16．下列命题：

①若a与b共线, b与c共线，则a与c共线； ②向量a、b、c共面，则它们所在直线也共面； ③若与共线，则存在唯一的实数 ，使= ；④若A、B、C三点不共线，0是平面ABC外一点．OM

π，则球心O到平面ABC的2

111

OA OB OC,则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部，上述命题中的真命题333

是 ．

三、解答题： 17．（12分）（09浙江理20）如图，平面PAC 平面ABC， ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC 16，PA PC 10． （I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

（II）证明：在 ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

18．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC 1， BAC 90，且异面直

线A1B与B1C1 所成的角等于60，设AA1 a．

（1）求a的值； （2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．

19． (12分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图． （1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD; （2）证明BD

∥面

PEC;

（3）求面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值．

20．已知 e1，e2，e3 为空间的一个基底，且OP 2e1 e2 3e3， OA e1 2e2 e3，OB 3e1 e2 2e3，

OC e1 e2 e3．

（1）判断P，A，B，C四点是否共面；

OA，OB，OC （2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP．

21．（本小题满分12分） 数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱锥（如图所示），然

后他将其中的两根换成长度分别为在2a和a的塑料棒、又搭成了一个三棱锥，陈成同学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥，如果两人都将BD换成了长为a的塑料棒． （1）试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么？请你用学到的数学

知识解释陈成同学失败的原因；

（2）试证：平面ABD⊥平面CBD； （3）求新三棱锥的外接球的表面积．

22．(14分) 如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，中心，点F、G分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别

点E是正方形BCC1B1的是点E，G在平面

DCC1D1内的正投影．

（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界

的棱锥的体积；

（2）证明：直线FG1 平面FEE1； （3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

E1

参考答案

一、选择题

1．B;解析:将展开图还原成正方体．

2．C;解析:由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块。由俯视图可知，它自

左而右共有3列，第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定．并且最少时为第一列中有一个三层，其余为一层，第三列一层，共10块。如图2-1，最多要16块如图2-2．

3． C;解析:①④正确． 4． A;解析:该几何体顶部是一个半径为1的球，底部是一个边长

为2的正方体． 5．A;

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