考研高数习题集(上)(3)

n1 nnn 1nn

1

n

1n 1

11

111e

,( )] 2,(n 1); [en en 1 e

n(n 1)n 1nn

(2)e e

1

n

(3)xlnx x 1,(x 0). [f xlnx x 1,f' lnx 0,x 1,f" 0,f f(1) 0] (4)( )ln(1 x) 1,(x 0)

1x12

2xx2

,f' 0,f f(0) 0] [f ln(1 x)

2 x(1 x)(2 x)

(5)sinx tanx 2x,(0 x

2

).

2

[f sinx tanx 2x,f' cosx secx 2 0!,f f(0) 0] (6)1 x 2,(0 x 1).

[f 2 1 x,f" 2(ln2) 2 0,f(0) f(1) 0 f(x) 0] 11. 证明: 当x (0,1)时,

x

2

x

2

2

x

0] ln(1 x),F'(x) (1)(1 x)ln(1 x) x.

[F(x)

2

2

(1 x)ln2(1 x) x2111111

0] 1 . [G ,G' 2 (2)2

x(1 x)ln(1 x)ln2ln(1 x)x2ln(1 x)x

12. f(x)在[0, )上可导, 且f(0) 0,f(x) f'(x), 证明: f(x) 0. [(e

x

f(x))' e x(f'(x) f(x)) 0 e xf(x) e 0f(0) 0]

13. 设f在[0,1]上连续, (0,1)内可导, f(0) 0,0 f'(x) 1, 证明:

( [f 0,F (

1

f(x)dx) f3(x)dx

3

x0

2

1

x

f(t)dt) f(t)dt,F' 2f(x) f(t)dt f3(x) 0!,F(1) F(0)]

e x

2

x

14. 确定函数f(x) xe(0 x )的单调区间,并证明: x (0, ),有xe [f xe,f' x

e x

e 1 x

e x

1.

e(e x),f(x) fmin(e) 1]

15. f(x)可导, 恒正, 0 a x b, 且f(x) xf'(x), 则: [B] A:bf(a)

af(; b) B:af(a) xf(x); C:abf(x) x2f(b); D:abf(x) x2f(a)

16. 设b a 0, 证明: (1)

lnb lna112alnb lna2a

] 2 22; [2

b a ba bb aa b2(b a)b ln

a ba

(2)

2

f' 0,f(b) f(a) 0

[(1)f lnx lna2(x a)(a x)2

,f' 0,f(b) f(a) 0] (2)f lnx lna 2

a xx(a x)

17. 证明: 当x [0,1]时,

12

p 1

xp (1 x)p 1(p 1).

111

,fmax(0) 1,fmin() p 1] 222

[f' 0 x

单元七: 二阶导应用 1. 若f'(0) 0,lim

x 0

f"(x)

1,问(0,f(0))是什么点? [f"(x) 0极小] x

2. f(x)为y' xy sinx满足y(0) 1的通解, 问x 0为何种点? [f'(0) f"(0) f"'(0) 0,f

x

(4)

(0) 1,极大]

3. f,g任意阶可导, 且f"(x) f'(x)g(x) f(x)x e 1,f(0) 1,f'(0) 0, 则x 0 是什么点? [f'(0) f"(0) f"'(0) 0,f

(4)

(0) 1,极小]

4. f x 在 0,1 上满足:f"(x) 0, 比较:f'(0),f'(1),f(1) f(0)的大小顺序.

[f'(x) ,f(1) f(0) f'( ),f'(0) f(1) f(0) f'(1)] 5. y f(x)二阶可导,

dy

(4 y)y , 0,若y f(x)的一个拐点是(x0,3),求 . dx

d2y 1

[2 yy'[4 ( 1)y] 0, 3]

y 3dx0 x 1 x(x 1)2

,6. 问y 在(0,2)内极值与拐点个数. 2

(x 1)(x 2)1 x 2

[x 1连续, y'

(3x 1)(x 1)0 x 115

,,x :极大; x :极小

33 (3x 5)(x 1)1 x 2

6x 40 x 124

,, x ,1,:拐点. 共计:2个极值,3个拐点]

35 6x 81 x 2

y"

7. 证明:由y x siny(0 1)所确定的隐函数y y(x)在x 0的某邻域内是递增 的.并说明点(0,0)是否为曲线y y(x)的拐点? [y'

1 siny

0;y'' y',xy 0, (0,0)为拐点] 2

1 cosy(1 cosy)

x t3 3t 1

8. 设函数y y(x)由 确定, 求曲线y y(x)的凸区间. 3

y t 3t 1

dyt2 1d2y4t 2,2 2 0 t 0, x 1] [

dxt 1dx3(t 1)

9. 作图: (1)y (2x 5)x.

[y'

1

x

23

y" 图略] 1

x 111

ex;y" 3ex;f(0 ) 0,f(0 ) ] (2)y xe [x 0,y' xx

10. 求:y lnsecx,x (

,)的 (1)单调性; (2)凹凸性; (3)曲率

22

[(1)y' tanx,(

,0) ,(0,) ; (2)y" sec2x 0: 凹; (3)k cosx] 22

2

f(x) 2ex

1, 证明: 11. 设 f(x) 在 (a,b)(ab 0) 内满足: f"(x) 0, 且lim

x 0ln(1 x2)

f(x) 2,x

. ) [f(0) 2,f'(0) 0,f(x) 2 (a,b

1

f"( )x2 2] 2

单元八: 中值定理

1. f(x):[0,3]上可导,且f(0) f(1) f(2) 3,f(3) 1,证明 (0,3),使f'( ) 0 [(1)f(x0) 1,x0 [0,2];(2) (x0,3),f'( ) 0] 2. f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导, 且f(a) f(b) 0, 证明: k,在(a,b)内至少存 在一点 , 使得 f'( ) kf( ). [F(x) e

kx

f(x),罗尔定理]

3. f(x)可导, R, 则f(x)任意两个零点之间, 必有 f(x) f'(x) 0的零点 [F(x) e4. 设a0

x

f(x),令f(a) f(b) 0,罗尔定理]

aa1

n 0, 证明:f(x) a0 a1x anxn在(0,1)内至少有一个零点. 2n 1

aa2n 1

[F(x) a0x 1x nx,罗尔定理]

2n 1

5. 设f(x)在上二阶可导,f(0) f(1) 0,证明: (0,1),使得: f"( )

1

x 1

1

f'( )

( 1)2

[F(x) e

f'(x),f(x0) 0 F(1 ) F(x0) 0]

6. f(x),g(x):[a,b]上连续,证明: (a,b),使:f( )

b

g(x)dx g( ) f(x)dx.

a

[F(x)

2

x

a

f(t)dt g(t)dt, 罗尔定理]

x

b

7. F(x) (x 1)f(x),f(x):[1,2]上二阶可导,f(2) 0,证: 1,2 , F" 0 [F(1) F(2) 0,F'( 1) 0;F'(x) 2(x 1)f(x) (x 1)f'(x),F'(1) 0罗尔定理] 8. 设函数f(x)在[a,b]上具有二阶导数, 且f(a) f(b) 0,f'(a)f'(b) 0, 证明: , (ab,, )使得: f( ) 0和f"( ) 0

[ x1,x2 (a,b)使得f(x1) 0,f(x2) 0 f( ) 0 f"( ) 0] 9. 设0 a b,f(x)在[a,b]上可导, 证明: (a,b), 使得:

2

ea1 a

e ebf(a)

ebf(b)

f( ) f'( )

f(b)e b f(a)e af'( )e f( )e

f( ) f'( )] [左式=

e b e a e

10. 设函数f(x)在[0,

]上可导,证明: (0,),使得:cos [f() f(0)] f'( ) 222

f() f(0)

f'( ) []

sin sin0cos 2

f(x)

11. 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且lim 2,f(1) 1,f(2) 6, 证明:

x 0 x

存在 (0,2), 使得f"'( ) 9.

[ (x) f(x) (ax bx cx d), (0) (1) (2) 0, '(0) 0 a

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