考研高数习题集(上)(2)

x lncostd2ydyd2y

tcost,2 (cott t)cost] 14. 求2: (1) ; [dxdxdx y sint tcost x ln(1 t2) 1dyd2y(1 2t)(1 t2)2

(1 t t),2 (2) . [] 2

dxdx2t y 2arctant (t 1)

15. 设y y(x)由:x 2t t,y 5t 4tt确定,考察y y(x)在相应于t 0处的可微性 [t 0 x 0,y 0,y'(x)t 0 lim

t 0

2

5t2 4tt2t t

0]

单元四: 斜率与切线

1. 求对数螺线: r e在点(e2,

2

)处的切线方程.

2

x e cos dysin cos 2 [ ,(0,e),

dxcos sin y esin

1,x y e2]

2. 求y x ax与y x bx(b a 0)的公切线方程.

22

(a k)2 4c 0 y kx ca b(a b)22

x (a k)x c 0, ,k ,c [ ] 22

y x ax216 (b k) 4c 0

3. 问: 曲线y1 sinx与曲线y2 tanx在哪些点相切, 哪些点直交. [相切:

sinx tanx sinx tanx

x 2n x (2n 1) ] ; 直交: 22

cosx secx cosxsecx 1

4. f(x) 为周期为 5 的连续函数, 它在 x 0 的某个邻域内满足: f(1 sinx) 3f(1 sinx) 8x o(x)

其中o(x)是当x 0时比x高阶的无穷小量, 且f(x)在x 1处可导, 求曲线y f(x) 在点(6,f(6))处的切线方程. [lim

x 0

f(1 sinx) 3f(1 sinx)

4f'(1) 8,

sinx

f(6) f(1) 0;,f'(6) f'(1) 2;2x y 12]

单元五: 单调性与极值

xlnx

1 xx 0,x 1

x 0 试考察:(1)定义域内连续性; (2)单调性; (3)f'(1) 1. 设f(x) 0,

1x 1

[(1)f(0 ) 0,limf(x) 1,连续; (2)f'(x)

x 1

1 x lnx1

0!递减; (3)] f'(1)

(1 x)22

2. 设f(x)为已知的连续函数,令I t

s

t0

f(tx)dx,其中t 0,s 0, 则I的值: [A]

A:依赖于s,不依赖于t; B:依赖于t,s和x; C:依赖于t和x,不依赖于s; D:依赖于t和s.

ln(1 x)

, 1 x 0

3. 函数f(x) 的单调减少区间为? x

x 0 1 x

x (1 x)ln(1 x)

, 1 x 0 2

x(1 x),f'(x) 0! ( 1, )递减] [x 0连续!,f'(x) 1x 0

4. y f(x)由:3x y 4x y 0所确定, 求y f(x)的单调区间. [y'

2

3

4 6x22

,( ,] ,[, ) ]

1 3y233

5. f(x):[a,b]上二阶可导,且f''(x) 0,证明F(x) [F'(x)

f(x) f(a)

在(a,b)内递增.

x a

(x a)f(x) [f(x) f(a)]f'(x) f'( )

0]

(x a)2x a

x

6. 设f(x)在( , )内连续,且f(x) 0, 求证: (x)

x

x

0x0

tf(t)dtf(t)dt

当x 0时单调增加.

[ '(x)

xf(x) f(t)dt f(x) tf(t)dt

( f(t)dt)

x

2

f(x) (x t)f(t)dt( f(t)dt)

00x

2

x

0]

9

91010101110x10x(10 x)1010

,Fma(10) 10] 7. 三数: 9,10,11 中哪个最大? [F x,F' xx

eeeeee

tanyy

与 的大小.

2tanxx

tanxx sinxcosx tanyy

[F ,F' 0(x (0,), ] 22

xxcosx2tanxx

8. 设0 x y

, 判断:

9. 设可导函数f(x),g(x)大于零, a x b, 且f'(x)g(x) f(x)g'(x) 0, 则: [A] A:f(x)g(b ) C:f(x)g(x )

1

xx

f(b)g; ( x B:f(x)g(a) f(a)g(x) f(b)g; ( b D:f(x)g(x) f(a)g(a)

10. 考察y (ax b)的单调性.

axbxx

alnx blnx1xx

xxx [y' (a b) 0,y ]

x2(ax bx)

x

11. 讨论函数 f(x) x 2cosx 在区间 (0, ) 内的单调性与极值.

5 5

) ,(,) ,(, ) , 6666 5 5

fmax() fmin() 6666

[f'(x) 1 2sinx,(0,

12. 设三次函数y ax bx cx d有两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则函 数图形关于什么对称?

[y' 3ax2 2bx c 0,x1 x2 13. f(x)满足: f(x) 4f( )

3

2

2b

0,b 0;y(x1) y(x2) 2d 0奇函数] 3a

1x1

, 求f(x)的极值 x

111 4x21414

[f(x) (4x ),f'(x) ,f() ,f( ) ] maxmin2

15x15x215215

14. 求y ax

2

b

(a,b 0)的极值’ x

2ax3 b2b 0,x0 y"(x0) 2a 3 0,ymin(x0)

[y' ] 2

xx015. f(x)在( , )上连续,f'(x)

x(x 1)2(x 2)3

(x 1)

1

3

(x 1),求驻点和极值点.

[驻点:x 0, 1, 2; 极小值点:x 0; 极大值点:x 2,1] 16. f'(x)在x a处连续, lim

x a

f'(x)

1, 问:x a是什么点? x a

[f'(a) 0,(x a)f'(x) 0,x a:极大值点] 17. 已知f(x)在点x 0的某邻域内连续,且lim

f(x)

2,则x 0处f(x)必: [D]

x 01 cosx

A:不可导; B: 可导,但f'(0) 0; C: 取到极小值; D:取到极大值

x4a3b2

x x 2x仅有两个相异负值驻点,且有唯一极值点x 2 18. 求a,b,使f(x)

432

[f'(x) x ax bx 2 (x 2)(x 1),a 4,b 5]

1

x2lnxx 0

,19. 求f(x) 的极值点. [极小值点x e2；极大值点x 0] x 0 0

322

[f'(x) x(1 2lnx) 0 x e,x 0,f"(x) 3 2lnx]

1

2

单元六: 单调性应用

n

1. 设f(x) nx(1 x), (n为自然数), (1)求maxf(x); (2)证明: maxf(x)

x [0,1]

x [0,1]

1. e

1nnnn1) ();(2)() fmax ] n 1n 1n 1ex22

2. f(x)在x 1上正值连续,求F(x) [ lnx ( lnt)]f(t)dt(x 1)的最小值.

1xt

x 2x

[F'(x) 2 f(t)dt,最小值:Fmin(2)]

x1

[(1)f' n(1 x)n 1[1 (n 1)x] 0 fmax(3. 求f(x)

11

(a 0)的最大值. 1 x1 x a

11

x 0 (1 x)2(1 a x)2 0

11

,0 x a [f'(x) 22

(1 a x)(1 x) 11 0x a 22 (1 x)(1 x a)

x

a2 aa42 a

] ,f(0) f(a) f() ,fmax

21 a22 a1 a

4. 设f(x)连续, 且f(x) 0,f( x) f(x), 令F(x)

a

a

x tf(t)dt( a x a),

2

(1)证明:F'(x)递增; (2)求F(x)的最小值; (3)若F(x)的最小值为:f(a) a 1,求f(x) [(1)F' 2 (3)2

n

x

f(t)dt,F" 2f 0;

(2)Fmin(0) 2 tf(t)dt;

a

f'(x) 2x(1 f(x))x22

tf(t)dt f(x) x 1 f(x) 2e 1] , 0

f(0) 1

x

2

5. 设P(x) x a2x a1x a0, 又设x x0是它的最大实根, 则P'(x0)满足: [D] A: 0; B: 0; C: 0; D: 0 6. x 0,n N, 设f(x)

x

(t t2)sin2ntdt, 证明:f(x)

2n