2.4.1抛物线及其标准方程(2)

1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是( ) A．(0,1)

B．(1,0)

高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。

1

C．(0，)

16

1

D．(，0)

16

1

解析：由y＝4x2得x2＝y，

4

1

∴抛物线焦点在y轴正半轴上且2p＝，

411∴p(0，)．

816答案：C

x2y2

2．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为( )

62

2

A．－2 C．－4

B．2 D．4

解析：由椭圆方程可知a＝6，b＝2， ∴ca－b＝2，

p

∴椭圆右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.

2答案：D

3．(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )

3 45 4

B．1 74

1

解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|＋|BF|)

21315－－＝4244

答案：C

4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF3，那么|PF|＝( )

A．43 C．83

B．8 D．16

解析：由抛物线的定义得|PF|＝|PA|， 由直线AF的斜率为－3， 可知∠PAF＝60°.

△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝

4

8. cos60°

高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。

答案：B

5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________． p

解析：由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－.又圆的方程为(x－3)2＋y2

2p

＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.

2

答案：2

6．(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．

解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系．设

抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为6米．

答案：27．根据下列条件求抛物线的标准方程．

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. x2y2

解：(1)双曲线方程化为－1，

916左顶点为(－3,0)． 由题意设抛物线方程为 －p

y2＝－2px(p>0)3，

2∴p＝6，

∴方程为y2＝－12x.

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)． p

由抛物线定义得5＝|AF|＝|m|.

2又(－3)2＝2pm， ∴p＝±1或p＝±9，

故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到

1 m)

高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。

解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)． 依题意有P′(1，－1)在此抛物线上， 1

代入得p＝2

故得抛物线方程为x2＝－y.

B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝2， 即|AB|＝2，则|AB|＋1＝2＋1，

因此所求水池的直径为2(1＋2) m，约为5 m， 即水池的直径至少应设计为5 m.