考试点专业课：南京邮电大学信号与系统(沈元隆_周井泉)讲义(2)

1.3.2系统的数学模型

分析个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数分析一个实际系统首先要对实际系统建立数学模型在数学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用数学方法求其解答最后又回到实际系统对结果作出物理数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统特性。统特性

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系统模型的建立是有一定条件的，对于同一物理系统，在不同条件下可以得到不同形式的数学模型另方面对于不同条件下可以得到不同形式的数学模型。另一方面，对于不同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。

1．3．3系统的分类

系统的分类比较复杂，我们主要考虑其数学模型的差异来划分不同的类型。

1．连续时间系统和离散时间系统

输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。模拟通信系统是连续时间系统，而数字计算机就是离散时间系统。连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用差分方程来描述。

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2．线性系统和非线性系统

线性系统是指具有线性特性的系统。所谓线性特性（linearity）系指齐次性与叠加性。若系统输入增加k倍，输出也增加k倍，这就是齐次性（homogeneity）。若有几个输入同时作用于系统，而系统总的输出等于每一个输入单独作用所引起的输出之和这就是叠加性（superposition之和，这就是叠加性（itiPPropertyt）。系统同时具）系统同时具有齐次性和叠加性便呈现线性特性。

一个系统的输出不仅与输入有关，还与系统的初始状态有关。个系统的输出不仅与输入有关还与系统的初始状态有关设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为y(t)；仅有激励而初始状态为零的响应为yzs(t)，称为零状态响应；仅有称为零状态响应；仅有初始状态而激励为零时的响应为yzi(t)，称为零输入响应。若将系统的初始状态看成系统的另种输入激励则对于线若将系统的初始状态看成系统的另一种输入激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。

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因此，一般线性系统必须具有：

a.分解性（decompositionproperty）：

即y(t))=yzs(t)+yzi(t)（1.313-66）

b．零输入线性——当系统有多个初始状态时，零输入响应对每个初始状态呈线性。应对每个初始状态呈线性

c．零状态线性——当系统有多个输入时，零状态响应对每个输入呈线性。每个输入呈线性

凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统。

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3．时不变系统和时变系统

只要初始状态不变，系统的输出仅取决于输入而与输入的起始作用时刻无关，这种特性称为时不变性。具有时不变特性的系统为时不变系统（timeinvariantsystem）。不具）不具有时不变特性的系统为时变系统（timevaryingsystem）。对时不变系统如果激励是x(t)，系统产生的响应是对时不变系统，如果激励是系统产生的响应是y(t)，当激励延迟一段时间td为x(t–td)，则系统的响应也同样延迟td时间为y(t–td)，其波形形状不变。公式化地表示为：

若

则x(t)x(t–td)y(t)(t–td)(13)(1.3-7)

系统的线性和时不变性是两个不同的概念，线性系统可以是时不变的，也可以是时变的，非线性系统也是如此。本课程只讨论线性时不变（LTI）系统，简称线性系统。线性时不变连续（离散）系统的数学模型为常系数微分（差分）方程。

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4．因果系统和非因果系统

因果系统（Causal system）是响应不会超前激励的系统。非因果系统（noncausal systeml）是响应能领先于激励的系统）是响应能领先于激励的系统。

1.4 系统的模拟

如前所述，把一个实际系统抽象为数学模型，便于用数学方法进行分析。另外，还可借助简单而易于实现的物理装置，用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对于系统响应的影响。此时，需要对系统进行实验模拟。系统模拟（systemtsimulationilti）不需要仿制实际系统，而只需在数学意）不需要仿制实际系统而只需在数学意义上的等效，使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式。

1.4.1基本运算器

连续系统的模拟一般需要三种基本的运算器：加法器、标量乘法器和积分器。

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模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器，这是因为积分器对信号起“平滑”作用为积分器对信号起平滑作用，甚至对短时间内信号的甚至对短时间内信号的剧烈变化也不敏感，而微分器将会使信号的噪声大大增加，因而使用较少，显然积分器的抗干扰性能比微分器好，运使用然积分抗干扰性能微分好

算精度高。

1.4.2连续系统的模拟图

对于连续的线性时不变系统，可用线性常系数微分方程来描述，根据微分方程可作出相应的模拟图。描述，根据微分方程可作出相应的模拟图

构成系统模拟图的规则如下：(1)把微分方程输出函数的最高导数项保留在等式左边把其它各项移到等式右边(2)高导数项保留在等式左边，把其它各项移到等式右边；

将最高阶导数作为第一个积分器的输入，其输出作为第二个积分器的输入，以后每经过个积分器，输出函数的导个积分器的输入，以后每经过一个积分器，输出函数的导数阶数就降低一阶，直到获得输出函数为止；(3)把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器，一齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶导数。这就构成了一个完整的模拟图。