数学必修四成才之路2-1-1

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第二章 平面向量

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第二章 平面向量

●课程目标 1.双基目标 (1)通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景， 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. (2)掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义. (3)掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个 向量共线的条件. (4)了解向量的线性运算性质及其几何意义. (5)了解平面向量的基本定理及其意义. (6)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.人 教 B 版 数 学

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(7)会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算. (8)会用坐标表示平面向量共线的条件. (9)通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的 含义及其物理意义. (10)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算. (11)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系.人 教 B 版 数 学

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(12)经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处 理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实 际问题的能力. 2.情感目标 (1)通过大量实例，体会向量语言或运算在解决数学问 题和实际问题的工具作用. (2)向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通 过本章的学习，认真体会它们之间的联系.人 教 B 版 数 学

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(3)本章的学习较多地运用了几何直观、类比、从特殊 到一般等思维方法，认真体会这些思维方法，逐渐提高理 性思维能力. (4)通过本章学习，逐步认识向量的科学价值、应用价 值和文化价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信 心.人 教 B 版 数 学

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第二章 平面向量

●学法探究 1.向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有 深刻的几何与物理背景，是解决几何及物理问题的有力工 具.向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、 勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积 等运算(运算律),从而把图形的基本性质转化为向量的运 算体系. 向量数量积的概念要用到三角函数的概念，利用向量 数量积可以推导第三章中两角差的余弦公式，同时在解决 两条直线的平行、夹角、距离等问题中具有广泛的应用.人 教 B 版 数 学

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2.学习过程中要注意体会向量概念与运算的几何、物 理背景，结合几何中有向线段的概念，物理中的力、速度、 加速度等概念来认识和理解向量，在理解基础上加以抽象， 解决问题中要牢牢把握向量的两大特征

:方向性和长 度.向量的坐标运算和数量积的概念与坐标表示中公式多， 要很好把握公式的特征及含义.人 教 B 版 数 学

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2.1 .

向量的线性运算 向量的概念

2.1.1 .

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1.向量的概念 我们把具有 大小 和 方向 的量称为向量.看一个 量是否是向量，就要看它是否具备了 大小 和 方向 这 两 个要素. 2.向量的表示 几何表示.向量可以用 有向线段 表 示 ， 有 向 线 段 的 方向 表示向量的方向，线段的 长度 表 示 向 量 的 长 度.注意向量虽然可以用有向线段表示，但它与有向线段 是有区别的，向量可以自由平行移动，故当用有向线段来 表示向量时，规定有向线段的起点是任意的.人 教 B 版 数 学

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3.相等的向量 同向且等长的有向线段表示 同一向量 同. 4.向量的长(或模) 向量a的 长度 叫做向量的 模 ，记作|a|.模是非负数， 可以比较大小.但由于方向不能比较大小，因此向量不能 比较大小. 长度等于0的向量 ，叫做零向量，记作0.要注意 零向量的方向不确定. , 或人 教 B 版 数 学

相等向量. 如a=b,就意味着|a|=|b|,且a与b的方向相

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5.向量共线或平行 通过有向线段 的直线，叫做向量 的基线.如人 教 B 版 数 学

果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行. 向量a与b平行，记作 a∥b .

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重点：向量概念、相等向量与共线向量的概念. 难点：对向量概念与向量共线概念的理解. 1.理解向量的概念 (1)要抓住向量有方向、有大小，故两个向量不可以比 较大小；但向量的模可以比较大小. (2)数学中研究的主要是自由向量，是仅由大小和方向 确定、而与起点位置无关的向量，只要不改变它的大小和 方向，在平面上是可以平行移动的.人 教 B 版 数 学

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2.向量平行与两直线(线段)平行不同，两个平行的向 量可以在同一条直线上，向量共线与向量平行是一回事 儿.共线向量的方向包括同向和反向.零向量与任一向量 平行，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上.人 教 B 版 数 学

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[例1] 在下列命题中，正确的是 A.若|a|>|b|,则a>b B.若|a|=|b|,则a=b C.若a=b,则a与b共线 D.若a≠b,则a一定不与b共线

(

)人 教 B 版 数 学

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[解析]

答案为C.因为向量是既有大小又有方向的量，

两个向量间不能比较大小，因此，A不正确.两个向量的 模相等，

但方向却不一定相同，因此B不正确.相等的向 量方向一定相同，故相等向量一定共线，因此C正确.对 于选项D,两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以 相同或相反，所以a与b有共线的可能，故D不正确. [答案] C人 教 B 版 数 学