柱体、锥体和台体的体积计算

复习引课： 1. 复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积 计算公式是什么？

S圆柱表面积 2 r 2 rl 2 r (r l )2

S圆锥表面积 r rl r(r l )2

S圆台表面积 (r r r l rl )2 2

2. 练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为 6, 底面边长为4, 你能求出它的高和表面积 吗?

3. 提问：我们已经学过了柱体、锥体、台 体的表面积的求法及其计算公式,现在的问 题是它们的体积如何求?是否也有相应的计 算公式? 探究新知： 回顾：还记得特殊的棱柱—正方体、长方 体，以及圆柱的体积计算公式吗？ 正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可 以统一为： V = Sh(S为底面面积，h为高)

简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30) 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。

利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：

1、探究柱体的体积公式 结论：等底、等高的 棱柱、圆柱的体积相 等. 归纳：一般柱体的体 积 V=Sh,其中S为底 面面积,h为柱体的高。

2、探究锥体的体积公式

结论1:等底面积等高的两个锥体的体积相等。 结论2:三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积 的三分之一。 归纳：锥体的体积计算公式： V锥体 S为底面面积，h为高。

1 Sh 3

讨论：台体的上底面积S’,下底面积S,高h, 由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？ 解:设切割前的锥体的高为x, 则:

x 2 S x S ( ) x h S h S S S 1 1 x h V S (h x ) S x S S 3 3

V台体

1 ( S S S S )h 3

其中S 、S分别为上、下底面积， h为高。

1 ' 1 ' 2 2 V圆台 (S S S S )h (r rR R )h 3 3想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？ 从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为 一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相 同时，台成为柱。因此只要分别令S'=S和S'=0便 可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。 从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

例题示范： 例1(P26) 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六 边形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为 10mm,问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14)? 分析、讨论：六角螺帽 的几何结构特征怎样？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求螺 帽的个数？

解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差，即:

3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2

2956(mm ) 2.956(cm )33

所以螺帽

的个数为

5.8×1000÷(7.8×2.956) ≈252(个)答：这堆螺帽大约有252个.

已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1:2: 3。体对角线长 是 ， 则这个长方体的体积是多少

把三棱锥的高分成两等份，过等分点且平行于地面的平面，把三棱 锥分成两部分，求这两部分的体积比

巩固练习： 1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行 于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求 这三部分自上而下的体积之比。 2、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2, 截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这个棱台的 体积。 (答案：2325cm3) 3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面 的面积为4,求圆锥的体积. 4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225π cm2, 体积为2800cm3,求它的侧面积。

知识小结:柱体、锥体、 台体的表面积

圆柱

S 2 r (r l )r r

圆台

S (r r r l rl )2 2

r 0展开图圆锥

S r (r l )

各面面积之和

知识小结:柱体 V Sh

S S'

柱体、锥体、 台体的体积

1 台体 V ( S S S S )h 3 S' 0 锥体 V 1 Sh 3