竖直平面内圆周运动的临界问题及应用(2)

【例 8】如图 13 所示，光滑的圆管轨道 AB 部分平直， 圆管截面 BC 部分是处于竖直平面内半径为 R 的半圆， 半径 r ,有质量为 m 、半径比 r 略小的光滑小球以水平 初速度度 v0 射入圆管. (1)若要小球能从 C 端出来，初速 v0 多大? (2)在小球从 C 端出来瞬间， 对管壁压力有哪几种典型 情况，初速度 v0 各应满足什么条件?

图 13

【解析】本题综合考查了竖直平面内

圆周运动临界问 题；属于“轻杆类” . (1)小球恰好能到达最高点的条件是 vC 0 ,由机械能1 2 守恒，初速度应满足： mv0 mg 2R ,即 v0 4gR . 2 要使小球能从 C 端出来，需 vC 0 ,所以入射速 度 v0 4 gR . (2)在小球从 C 端出来瞬间， 对管壁压力有以三种典型 情况： ①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即mg m2 vC . L

mg 提供，根据牛顿第二定律，有： mg m

2 vA L

解得 vA gL (2)若小球 m 在最高点 A 时，受拉力 F ,受力如图 11 v2 所示，由牛顿第二定律，有: F mg m 1 LFL 解得 v1 gL gL m 若小球 m 在最高点 A 时，受推力 F ,受力如图 12 所版权所有

2 由机械能守恒定律，知 1 mv02 mg 2R 1 mvC

2

2

联立解得:

v0 5 gR2 vC ,相应的入射速度 L

②对下管壁有压力，应有 mg m

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第一章2 C

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v0 应满足 4 gR v0 5gR .

③对上管壁有压力，此时应有 mg m

v ,相应的入射 L

速度 v0 应满足 v0 5gR 小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力 除最高点与最低点过圆心外， 其他条件下均不过圆心， 因而在一般位置处， 它具有切向加 速度. 【例 9】如图 14 所示，一内壁光 滑的环形细圆管位于竖直平面内， 环的半径 R (比细管的半径大得 多),在圆管中有两个直径与细管 内径相同的小球 A、B ,质量分别 图 14 为 mA、mB , 沿环形管顺时针运动， 当 A 球运动到最低点时， 速度为 v A ,B 球恰到最高点， 若要此时圆管的合力为零， B 的速度 vB 为多大？ 【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问 题的分析，属于“轻杆类” .在最低点对 A 球进行受力 分析，如图 15 所示，应用 牛 顿 第 二 定 律 有 2 vA N A mA g m A R 由牛顿第三定律，球 A 对 管 有 向 下 的 压 力 图 15 图 16 NA ' NA , 根 据 题 意 球 N A ' N B ' ,即球 B 对对管有向上的压力 N B ' , B 受力 情况，如图 16 所示，由牛顿第三定律，管对球 B 有向 下的压力 N B , N B ' N B ,对球 B 应用牛顿第二定律，v2 ,由于 N A N B R mA 2 mA 联立可得 vB vA ( 1) gR mB mB

变速率通过凸形路面，路面半径为 15m ,若汽车安全 行驶，则汽车不脱离最高点 的临界速度为多少?若汽车 达到临界速度时将做何种运 动?水平运动位移为多少? 图 19 【解析】(1)此题属于“轻绳 类” ,即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件 为汽车对轨道压力 N 0 , 则汽车不脱离最高点的临界 速度为 v0 ,则有： mg m2 v0 ,可得 v0 gR ; R

(2)当 v0 gR 时

,汽车在轨道最高点仅受重力作用， 且有初速度 gR ,故做平抛运动，则 1 R gt 2 , x v0t ,可得: x 2 R . 2 【例 11】小明站在水平地面上， 手握不可伸长的轻绳一端，绳的 另一端系有质量为 m 的小球，甩 动手腕，使球在竖直平面内做圆 周运动.当球某次运动到最低点 时，绳突然断掉，球飞离水平距 离 d 后落地，如图 20 所示.已知 图 20 握绳的手离地面高度为 d ,手与 3 球之间的绳长为 d ,重力加速度为 g .忽略手的运动 4 半径和空气阻力. (1)求绳断时球的速度大小 v1 和球落地时的速度大小 v2 . (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动 到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长 应为多少？最大水平距离为多少？ 【解析】 (1)设绳断后球飞行时间为 t ,由平抛运动规 1 1 律，有：竖直方向 d gt 2 4 2 水平方向 d v1t ,得： v1 2 gd 1 2 1 3 由机械能守恒定律，有： mv2 mv12 mg (d d ) , 2 2 4 得： v2 5 gd 2

有： N B mB g mB

三、小球在凸、凹半球上运动 如图 17 所示，小球在凸半球上最高点运动时： (1)当 0 v gR , 小球不会脱离凸半球且能通过凸半 球的最高点. (2)当 v gR ,因轨道对小球不能产生弹力，故此时 小球将刚好脱离轨道做平抛运动.

(2)设绳能承受的最大拉力为 T ,这也是球受到绳的 3 最大拉力大小，球做圆周运动的半径为 R d 4图 17 图 18

(3)当 v gR , 小球已脱离凸半球最高点做平抛运动. 如图 18 所示， 小球若通过凹半球的最低点时速度只要 即可. v 0 由以上分析可知， 通过凸(或凹)半球最高点(或最 低点)的临界条件是小球速度 0 v gR (或 v 0 ). 【例 10】如图 19 所示，汽车质量为 1.5 104 kg ,以不版权所有

v12 11 ,解得 T mg R 3 (3)设绳长为 l ,绳断时球的速度大小为 v3 ,绳承受

由向心力公式，有 T mg m 的最大拉力不变， 有 T mg m

v32 8 ,得 v3 gl l 3

绳断后球做平抛运动，竖直 位移为 d l ,水平位移为

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第一章

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x ,时间为 t1 ,有： d l 图 13

1 2 gt1 , x v3t1 2

得： x 4 当l

l (d l ) , 3

2 3 d 时， x 有极大值 xmax d 3 2 总结 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其 关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类， “轻绳” 只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点对物 体拉力为零是临界条件， F拉 0 ; 即 在最高点， “轻杆”

对物体既可以产生拉力，也可以产

生支持力，还可以 对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是 临界条件，即 N 0 . 在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定 要区分“几何最高点”与“力学最高点”不一定是对 应的，上面总结的“轻绳类"和“轻杆类”规律必须是 “力学最高点” .

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