竖直平面内圆周运动的临界问题及应用

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高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析

五、竖直平面内的圆周运动

竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类”

绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一

个方向给物体力的图1 图

2 作用，如图1、图2

所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没

有力的作用，v0 (2)

小球能通过最高点的条件：v

当v 绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)

小球不能过最高点的条件：v 没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类”

有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)： (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度v0 0

(2)小球过最高点时，轻

图3 图

4 杆对小球的弹力情况：

①当v 0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N mg；

v2v2

②当0 v 因mg N m,则N mg m.

RR

轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg N 0．

【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运

图

5 动，问A点的高度h至少

应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条

件，即小球在最高点的临界速度是v临界 ，根据12

机械能守恒定律得mgh mg 2R mv临界

25

把v临界 代入上式得：hmin R．

2

【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?

【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B受到三个力作用:电场力F qE，方向竖直向上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式，有

2

vB

mg N qE m

R

要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临

界状态，其速率vB为图6

临界速度，临界条件

是N 0．由此可列出小球的临界状态方程为mg qE

2

vB

① R

③当v N 0；

v2v2

④当v mg N m，即N m mg，

RR

12

根据动能定理，有(mg qE) (h 2R) mvB ②

2

5

解之得：hmin R

2

2vB

说明 把②式中的mg qE换成m，较容易求出

R

5hmin R

2

杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.

小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v

≠应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体. 二、两种模型的应用

【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率v

B为

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临界速度，临界条件是 N 0 .由此可列出小球的临界 状态方程为： mg qE mv R2 B

①

1 2 根据动能定理，有 (mg qE ) (h 2R) mvB ② 2 5 由上述二式解得： hmin R 2 小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么? 因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅 与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力 做功也仅与沿电场力方向的距离差有关.我们不妨可 以这样认为，例 2 中的“等效重力加速度 g1 ”比例 1 中的重力加速度 g 减小，例 3 中的“等效重力加速度 g 2 ”比例 1 中的重力加速度 g 增大. 1 2 例 2 中 v临界 Rg1 , mg1h mg1 2R mv临界 ； 2 1 2 例 3 中 v临界 Rg 2 , mg2 h mg2 2R mv临界 . 2 把 v临界 代入各自对应的式子，结果 mg1 、 mg2 分别都约 5 去了，故 hmin R . 2 【例 4】 如图 7 所示， 一个带正电 q 、 质量为 m 的电荷，

【解析】此题属于 “轻绳类”,题中 “恰能”是隐含条 件，要使小球恰能 通过圆形轨道的最 高点 B ,说明小球 此时处于临界状 图 8 态，其速率 vB 为临 界速率，临界条件是 N 0 ,由此可列出小球的临界状 态方程为 mg qvB B qE m(mg

qE ) (h 2R) 2 vB R

① ②

1 2 mvB 2

由①式可得: vB

R 4m 2 (mg qE ) qB (qB) 2m R

因 vB 只能取正值，即vB R 4m 2 (mg qE ) qB (qB) 2m R R2 4m 2 (mg qE ) qB (qB) 8m(mg qE ) R 2

则hmin 2 R

从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑，若小球 恰能通过半径为 R 的竖 直圆形轨道的最高点 B (圆弧左半部分加上 垂直纸面向外的匀强磁 图7 场), 问点 A 的高度至少 应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”,题中“恰能”是隐含 条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B ,说明 小球此时处于临界状态，其速率 vB 为临界速率，临界 条件是 N 0 ,由此可列出小球的临界状态方程为2 vB ① R 1 2 ② mgh mg 2R mvB , 2 R 4m 2 g 2 由①式可得: vB qB (qB ) 2m R

mg qvB B m

因 vB 只能取正值，即 vB 则 hmin

R 4m 2 g 2 qB (qB ) 2m R 2

R2 4m 2 g 2 R 2 qB (qB) 2 R 8m g

【例 5】如图 8 所示，在竖直向下的均匀电场中，一个 带正电 q 、 质量为 m 的电荷， 从光滑的斜面轨道的 A 点 由静止下滑，若小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨 道的最高点 B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀 强磁场),问点 A 的高度 h 至少应为多少?版权所有

小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特 点，即都与速度 v 的方向垂直，它们对小球都不做功， 而临界条件是 N 0 . 【例 6】 如图 9 所示， ABD 为竖直平面内的光滑绝 缘轨道，其中 AB 段是水 平 的 ， BD 段 为 半 径 两段轨 R 0.2m 的半圆， 道相切于 B 点， 整个轨道 处在竖直向下的匀强电 图 9 3 场中，场强大小 E 5.0 10 V/m .一不带电的绝缘小球 甲，以速度 v0 沿水平轨道向右运动，与静止在 B 点带 正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量 …… 此处隐藏：3493字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……