2017-2018学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解(2)

7．若关于x 的不等式mx 2－mx ＋1＜0的解集不是空集，则m 的取值范围是________． 解析：假设原不等式的解集为空集．当m ＝0时，原不等式化为1＜0，此时不等式无解，

满足要求．当m ≠0时，有????? m ＞0，Δ≤0，即????? m ＞0，m 2－4m ≤0，

∴0＜m ≤4.

综上可得0≤m ≤4.故当原不等式的解集不是空集时，有m ＜0或m ＞4.

答案：m ＜0或m ＞4

8．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．

解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x >8)升第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为

x －x 升，此时桶内有纯农药液????

??x －－x －

x 升． 依题意，得(x －8)－

x －

x ≤28%·x .

x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103

{x |1＜x ＜2}．

(1)试求a ，b 的值；

(2)求不等式ax ＋1bx －1

＞0的解集． 解：(1)∵不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}，

∴a ＜0，且1和2是方程ax 2

＋bx －1＝0的两根，

9 由根与系数的关系可得????? －b a ＝3，

－1a ＝2，a ＜0. 于是得????? a ＝－12，b ＝32.

(2)由(1)得不等式ax ＋1bx －1＞0即为－12x ＋132

x －1＞0， ∴? ????－12x ＋1? ??

??32x －1＞0， 因此(x －2)? ??

??x －23＜0，解得23＜x ＜2. 即原不等式的解集是?

?????????x ??? 23＜x ＜2. 10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．

解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，

则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ? ????x －122＋34

m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：

法一：令g (x )＝m ? ????x －122＋34

m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，

所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.

所以m ＜67，则0＜m ＜67

. 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，

所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.

所以m ＜6.所以m ＜0.

综上所述，m 的取值范围是

?

?????????m ??? 0＜m ＜67或m ＜0.

1

0 法二：因为x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34

＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，

所以m ＜6x 2－x ＋1

. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6? ??

??x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是

??????

????m ??? m ＜0或0＜m ＜67

.

11．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：法一：令g (x )＝f (x )－a ＝x 2－2ax ＋2－a ，x ∈[－1，＋∞)，因此当x ∈[－1，＋∞)时要使f (x )≥a 恒成立，只要不等式x 2－2ax ＋2－a ≥0恒成立，结合二次函数图象(如图)，

∴Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或????? Δ＞0，a ≤－1，

g －

，

解得－3≤a ≤1.

法二：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .

当a ∈(－∞，－1]时，

结合图象知f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，

∴f (x )最小值＝f (－1)＝2a ＋3.

∴要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )最小值≥a ，

即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ≤－1.

当a ∈(－1，＋∞)时，f (x )最小值＝f (a )＝2－a 2，

由2－a 2≥a ，解得－1＜a ≤1.

综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.

12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．

(1)求a ，b 的值；

(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.

解：(1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则

11 ????? 3a ＝1＋b ，

2a ＝b ，解得?????

a ＝1，

b ＝2. (2)不等式ax 2－(a

c ＋b )x ＋bc <0，

即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，2<x <c ；

②当c <2时，c <x <2；

③当c ＝2时，不等式无解． 综上所述：当c >2时，

不等式解集为{x |2<x <c }；

当c <2时，不等式解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时不等式解集为?.