2017-2018学年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解

第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)

1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？ 略

2．判别式Δ的值对一元二次不等式的解集有何影响？

略

[例1] (1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2

≤2. [解] (1)由x ＋21－x <0得x ＋2x －1

>0， 此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，

∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．

(2)法一：移项得x ＋1－2≤0， ??? x －x －，x －2≠0，

此不等式等价于????x －2>0，

① 或????? x －5≤0，x －2<0，②

解①得x ≥5，解②得x <2，

∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．

[类题通法]

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求

2 解，但要注意分母不为零．

2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

[活学活用]

解下列不等式：

(1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x

>1. 解：(1)原不等式等价于????? x ＋－x ，3－x ≠0，

即????? x ＋x －，x ≠3?－2≤x <3.

∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}．

(2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3

<0， 等价于(3x －2)(4x －3)<0. x 的不等式(1＋m )x 2＋m 的取值范围．

m －＜?????? m ＜0，m ＜0，或m ＞43?m ＜0.

综上，m 的取值范围为m ≤0.

[类题通法]

3 不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为????? a ＞0，

Δ＝b 2－4ac ＜0；

一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R 的条件为????

? a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0；

一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为?的条件为???

?? a ＜0，Δ≤0.

[活学活用] 若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．

解：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去； 当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需

????? a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12

. 综上，所求实数a 的取值范围为? ??

??12，＋∞.

[例3] 元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．

(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．

[解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，

农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，

收购总金额为200a (1＋2x %)．

依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150

a (100＋2x )·(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．

依题意得，150

a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2

＋40x －84≤0，

∴－42≤x ≤2.

又∵0＜x ＜10，

∴0＜x ≤2.

∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．

4

[类题通法]

用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤

(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；

(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．

[活学活用]

某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

解：设花卉带的宽度为x m ，

则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m.

根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12

×800×600， 整理得x 2

－700x ＋600×100≥0，

即(x －600)(x －100)≥0，

所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．

故所求花卉带宽度的范围为

(0,100] m.

5.探究不等式恒成立的问题

[典例] 已知f (x )＝x 2

＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．

[解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.

故a 的取值范围是{a |0＜a ＜4}．

【探究一】 解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联系，并能在一定条件下相互转换，若一元二次不等式的解集为R 或?，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．

【探究二】 若x 2的系数为参数，应参考本节例2及活学活用的解法．

【探究三】 对于x ∈[a ，b ]，f (x )＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．如：

是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在，求出a 的取值范

5 围；若不存在，说明理由．

解：若对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2

＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．

由图象可知，此时a 应该满足

????? f －＜0，f

＜0，－3＜2－a ＜1，即????? 25－6a ＜0，1＋2a ＜0，1＜a ＜5，

解得????? a ＞256，

a ＜－12，1＜a ＜5.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立． 【探究四】 对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．如： 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3，1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．

解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．

要使对任意a ∈[－3,1]，y

＜0恒成立，只需满足????? g ＜0，g －＜0，即?

???? x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0. 因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，

所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2

＋2(a －2)x ＋4，

对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立．

[随堂即时演练]

1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝??????

????x ??? x －2x ≤0，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ＜0}

B ．{x |0＜x ≤1}

C ．{x |0≤x ≤2}

D ．{x |0≤x ≤1}

6 解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，

∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．

2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )

A ．－4≤a ≤4

B ．－4＜a ＜4

C ．a ≤－4或a ≥4

D ．a ＜－4或a ＞4 解析：选A 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，

解得－4≤a ≤4，故选A.

3．不等式

x ＋1x ≤3的解集为________． 解析：x ＋1x ≤3?x ＋1x －3≤0?2x －1x ≥0?x (2x －1)≥0且x ≠0?x

答案：?

?????x|x ＜0或x ≥12 4．若函数f (x )＝log 2(x 2

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